La altura máxima de la Luna

Justamente ayer una amiga y yo tratábamos de contestar esta pregunta:
¿Cuál es la máxima altitud (sobre el horizonte) a la que puede ver la Luna, un observador localizado a cierta latitud geográfica (λ)?

Veamos cómo podemos llegar a una respuesta satisfactoria, aunque no sea general, tratando de usar nuestro conocimiento e ingenio. Hay varias posibilidades para obtener la solución y si usted tiene alguna otra, me gustaría conocerla:

• La primera, sería similar a “la anécdota del barómetro”, de Sir Ernest Rutherford, muy conocida por los físicos (viejos); sería preguntarle a alguien, un veterano observador, o a usted, o a mi amiga y yo, luego de haberlo resuelto.
• La segunda sería consultar en Wikipedia, o en Google. Allí hay muchas respuestas interesantes a problemas muy variados.
• También podría simularla con un planetario como Starry Night, o Stellarium.
  De seguro encontrará la respuesta, pero requiere aplicar por un tiempo el método  de –prueba y error-, un poco de paciencia y suerte; con la ventaja de que saldrá hecho un experto en el uso de ese software.
• Está también la respuesta ‘evidente’: 90°.
  Solo que, al igual que el sol, que solo llega al cenit entre la latitudes de los trópicos, en el caso lunar la respuesta no le serviría para latitudes mayores que ±(23,5° + 5,145°). ¿Sabe por qué los 5,145° adicionales?
• Ahora, con nuestra experiencia de observar el sol cenital en Costa Rica, ampliamente estimulada por Cientec, podemos usar, por analogía, el hecho de que cuando la luna tenga la misma declinación que la latitud del observador, entonces habrá una pasada cenital.
  Simplemente buscamos las efemérides de la luna, en USNO, por ejemplo -et voila-.
  Solo que continúa el inconveniente de la restricción en latitud.
  Además, en el año que hace la búsqueda, la luna podría no alcanzar sus extremos de declinación.
  Bueno, una de cal y otra de arena; este método restringido a esas latitudes, le daría además la fecha, lo que es un bono adicional.
•  Si conoce la declinación de la luna y su ascensión recta, podría usar los métodos de la trigonometría esférica (transformación de coordenadas). No le arrugue la cara a la matemática, en realidad en este caso es manejable y siempre será entretenida, le da los valores más correctos y a usted le aumentará su conocimiento global.
  

La pregunta nos la puso en la primera tarea, el Dr. Ronen Plesser,  de Duke University en el curso Introduction to Astronomy, que estamos llevando por Internet (Coursera). 

La latitud del observador era 42,0°, lo cual elimina la respuesta obvia. Pero como se pedía el valor máximo, esto solo puede ocurrir durante -algún- solsticio de junio (de verano en el hemisferio norte). Además mla y yo decidimos responderla a punta de dibujo y geometría. Así que aquí les cuento lo que encontramos (nada que cualquiera que se lo proponga no pueda hacer):

• Dibujamos un círculo que representa la Tierra (o la esfera celeste; a gusto del cliente) y le trazamos el ecuador a la mitad entre los polos, la eclíptica a 23,5° respecto al ecuador, la posición del observador a una latitud de 42,0° y su horizonte (recta tangente por dicho punto).
  Luego la posición de la Luna, 5,145° encima de la eclíptica, suponiendo que esa situación (que se sume), se dará en algún momento, en alguna fecha.
  Según el dibujo, en el triángulo OBL, el ángulo O es  13,4° (= 42,0°-28,645°) y el ángulo B de 90°, entonces el ángulo L, que mide la máxima altitud (h) de la luna para dicho observador es: h = L = 180° - 90° - 13,4° = 76,6°.

¿Y si el observador está en el Polo Norte (λ= 90°)?
Pruebe que la altura máxima de la Luna será 13,4° (sólo durante el solsticio de junio).