viernes, 26 de octubre de 2012

Telescopio observa un agujero negro gigante en el centro de la galaxia:

¿Cómo entender esto, si se dice que "de un agujero negro ni la luz puede salir"?
Bueno primero comencemos por caracterizar de una manera más precisa lo que es, o más bien lo que puede hacer un agujero negro (desde luego, hasta donde mi conocimiento básico me da), analizando algunos conceptos físicos simples que son aplicables a los agujeros negros:
  1. Velocidad de escape.
    Es la velocidad (ve)  que debe tener una partícula de masa m, para escapar de la atracción gravitacional de un cuerpo de masa M, si está a una distancia r del centro de éste.
    En Textos de física encuentra la derivación estricta de la fórmula de cálculo. De una manera simple digamos que la energía cinética de la partícula, requerida para escapar es:


  2. La energía potencial gravitatoria, no con referencia a la superficie del objeto de masa M, como se hace en el colegio, sino con referencia a una posición infinitamente alejada, donde la influencia de M es cero (Gravitación Universal) es:
     
  3. La energía mecánica total es la suma de las anteriores:
     
  4. Cuando la partícula realmente haya escapado, a una distancia infinita, ya no necesita moverse, su velocidad es cero, lo mismo que su energía potencial y mecánica. Entonces, por conservación de la energía:





    de donde se despeja la velocidad de escape:




  5. Observe que solo depende de la masa  M y de la distancia r (¡solo depende del agujero negro, para el caso de interés!)

    Usted puede entretenerse un rato calculado la velocidad de escape de una partícula que está en la atmósfera en un planeta, o en el Sol, ya sea desde la superficie, o desde una distancia r del centro. Solo necesita algunos datos de masa y radio de objetos del Sistema Solar.
    Para escapar de la superficie de la Tierra se necesita al menos
    11,2 km/s.
  6. La velocidad de escape de un fotón sería obviamente la velocidad de la luz c = 300 000 km/s.
    ¿Desde qué distancia (mínima) r del centro de un objeto de masa M podría escapar un fotón? Sería:

  7. Por ejemplo, para un agujero negro de 100 veces la masa del Sol (Ms= 1,99 x1030 kg), en unidades del Sistema Internacional ese valor es:


    ! unos 29 kilómetros!


  8. Esto sería el tamaño (radio máximo =  r) de ese agujero negro, o mejor digamos, el radio de una esfera (imaginaria) que define el llamado horizonte de eventos, afuera del cual, un fotón sí podría escapar (si se mueve en la dirección correcta, pero si está dentro de esa esfera, no podrá hacerlo.
    A eso se refiere la frase: “ni la luz puede escapar de un agujero negro.”
  9. Entonces, los agujeros negros no son puntos matemáticos, existe una distancia a la cual su influencia es fatal (el radio del horizonte de eventos), pero lo que esté fuera de ese horizonte, dependiendo lo que sea, más o menos está a salvo “y podría observarse”.
  10. El campo gravitatorio de un cuerpo de masa M  a una distancia r de su centro está dado por la ley de Newton de Gravitación Universal:

    Puede entretenerse un rato calculándolo para la superficie de cada planeta. Para la Tierra ese valor es el conocido 9,8 m/s2encontrará además que a una altitud de 2 radios terrestres encima de la Tierra, más o menos al principio de la estratosfera, es la cuarta parte!
  11. ¿Cuánto sería g para el citado agujero negro?

    mil quinientos cincuenta y tres millones de veces lo que usted está sintiendo ahora mismo, debido al campo gravitatorio de la Tierra.
    http://apod.nasa.gov/apod/ap060701.html

     
  12. Aún a una distancia de 10 veces el horizonte de eventos, ese campo solo ha decaído a una centésima parte y es capaz de producir aceleraciones increíblemente grandes a las partículas que caen atrapadas por el agujero negro, hasta puede despojar de gas y polvo la atmósfera de una estrella vecina.

    Cuando estas partículas aceleradas tienen carga eléctrica, emiten radiación electromagnética, (rayos x) que puede observarse mientras no estén dentro del horizonte de eventos.
    Esta es una de las maneras indirectas de observar un agujero negro, solo se requiere un telescopio de rayos x, que pueda enfocarlas y entregar una buena imagen. Parece que el telescopio NuSTAR puede hacerlo.
Referencias adicionales:

lunes, 15 de octubre de 2012

¡No es una caída libre, no es un salto al vacío!

La extraordinaria hazaña de Félix Baumgartner al romper la velocidad del sonido en el aire (343,2 m/s) es ciertamente una proeza, pues para alcanzar unos 1342 km/hora (372,8 m/s), se requiere caer en la atmósfera terrestre a lo largo de una gran distancia, tener un excelente sistema de frenado (el paracaídas principalmente) y de soporte vital para un ser humano, además de el diseño y construcción del globo aerostático, que con base en el Principio de Arquímedes, lo subió a 39045 km de altitud. Esto es solo la parte física o de ingeniería del asunto, queda todo el coraje, habilidad, valor y decisión para realizar el salto, condiciones que casi nadie tiene.

Si ustedes recuerdan su física elemental del colegio o primeros años de universidad, estarán de acuerdo conmigo  en que, ese salto fuera de lo común, no es una caída libre, un caso hipotético de caída, en la cual –no se toma en cuenta el  efecto de fuerza de rozamiento del aire
La caída del señor Baumgartner  es una caída real, afectada por todo lo que puede hacer la gravedad y la atmósfera.

Si fuera una caída libre, en los primeros 32,8 segundos se habría alcanzado la velocidad record reportada (1342 km/h) y bastarían solo 7,12 km para alcanzarla. Veamos la física del asunto:
  1. La fuerza que acelera a Félix hacia abajo es la fuerza de gravedad (su peso), pero como sabemos desde Galileo y Newton, la aceleración tiene un valor constante, dado por el campo gravitatorio de la Tierra. Solo que al ser la altura bastante considerable, vamos a tomar ese valor no como el conocido 9,8 m/s2, sino el promedio entre la gravedad a la altura máxima (unos 9,72 m/s2) y aquel, lo que da un valor de trabajo, para este análisis, de 9,76 m/s2.
  2. Entonces, si aplica dos de las relaciones más simples con que trabajó en décimo año


    Y t
    omando en cuenta que inicia el descenso desde el reposo (velocidad inicial cero), luego de que la cápsula de ascensión se ha detenido, usted puede probar fácilmente (con un poquito de álgebra) que bastaría un tiempo de caída libre de 38.2 s, durante los cuales desciende una distancia de 7,12 km.
     
  3. Ahora bien como el tiempo y la altitud reportadas son muy  diferentes; 4 minutos 20 segundos (=260 s) y 39,045 km, concluimos que en esta caída nada libre, la influencia de la resistencia del aire fue nada despreciable.
     
  4. Recuerde que la hipotética caída libre de los libros de física, no tiene velocidad límite. Si Félix hubiese caído libremente a lo largo de 39045 m habría alcanzado la sorprendente rapidez de 873 m/s. Pero esto no se puede en la atmósfera terrestre, debido al rozamaiento del aire.
    Además habría tardado (hasta el suelo), solo 89,4 s.
    Para esto último requiere aplicar la relación:
Como ve, esta gran hazaña, no es una caída libre, aunque así lo digan los encargados de la proeza, o lo repita algún periodista.
Me decía una amiga que observó conmigo la transmisión, “que no importa, eso se sobreentiende”, bueno si fuera así ¿para qué nos esforzamos en enseñar y en aprender? ?Será que una vez que ganamos un curso, le ordenamos al cerebro que haga "delete tema*. *".

Sitio de la imagen
Tampoco aunque lo repitan en la televisión y los periódios, -no es un salto al vacío-, a pesar de que puede sonar más heroico o quizás poético. 
La capa inferior de la atmósfera, la troposfera, tiene unos 18 km de altura. En ella es  donde está la mayor parte de los gases, es la más densa y donde ocurren todos los fenómenos meteorológicos comunes, evidentemente no es una región de vacío. Luego viene la estratosfera hasta unos 50 km de altitud, capa en la que inició el salto.
 

Sabemos que a nivel del mar, la presión atmosférica tiene su valor mayor (unos 101 kilopascales, equivalente al conocido 760 mm de mercurio). 
A 40 km de altura la presión ha disminuido a 18,7 kPa (=140 mm de Hg). La densidad del aire, responsable de la fuerza de rozamiento que ayuda a detener la caída de Félix, se comporta de manera similar.

Sitio de la imagen
Entonces esta caída en la atmosfera, está afectada por dos fuerzas; la simple fuerza de gravedad hacia abajo que contribuye al aumento de velocidad y la compleja fuerza de rozamiento con el aire dirigida hacia arriba. Compleja porque depende de varios factores, por ejemplo la forma, diseño y tamaño del traje y del paracaídas. 

Se puede suponer que la fuerza de rozamiento del aire depende del valor de la velocidad elevado al cuadrado, así que si ésta aumenta, también lo hace la fuerza de fricción, como bien lo sabe un motociclista.
Cuando se cae en un fluido como la atmósfera se alcanza una velocidad terminal, que ocurre cuando la fuerza de rozamiento del aire se iguala al peso, en esto se basa el diseño de los paracaídas.
La velocidad record del salto de Félix (372,8 m/s) debió ser medida (o calculada) posiblemente durante los primeros kilómetros de su caída (sin paracaídas), cuando el peso le ganaba al rozamiento. Esa pudo haber sido la velocidad terminal en esta  etapa, aún muy alta para tocar el suelo. 
Entonces se abre el paracaídas y con las nuevas condiciones se vuelve a alcanzar una segunda velocidad terminal que es la que permite el aterrizaje sin mucho riesgo.

sábado, 6 de octubre de 2012

Un calendario astronómico (el islámico)


Quizás este título pueda parecerle exagerado o irrelevante, ya que podríamos pensar que ninguno lo es, ¿o lo son todos? 

Arabia, 16/07/622, poco después del ocaso del Sol.
Bueno es un asunto de definición y claridad de lenguaje, o de uso correcto de pensamiento matemático en aspectos de la vida cotidiana, para evitar ambigüedades, como diría Keith Devlin, profesor del curso por internet Introduction to Mathematical Thinking de la universidad Stanford, con más de sesenta mil estudiantes y con el cual sudo, me desvelo y divierto en las últimas tres semanas.

Para mí, un calendario merece el adjetivo de astronómico, si ha sido concebido y diseñado para que uno o varios de sus períodos, coincida con algún fenómeno astronómico relevante, no importa cual, ni tampoco el motivo, ya sea religioso, político, etc.

Un buen ejemplo de  calendario astronómico es el calendario islámico, basado exclusivamente en la observación del primer creciente lunar, después de la luna nueva, para iniciar el mes y el año, es entonces un calendario lunar
Hay otros calendarios lunares o lunisolares, como el calendario hebreo y el calendario chino, pero el islámico se basa exclusivamente en las fases de la luna, sin intentar ninguna conciliación con otros fenómenos astronómicos, como correlacionar el sol con las estaciones, que sí lo hace el calendario gregoriano, usado mayoritariamente en el mundo.

El primer año del calendario islámico se fija el 16 de julio del 622 d.C., para conmemorar la migración de Mahoma y sus seguidoress de La Meca a Medina, evento conocido como la  Héjira.
Consta de 12 meses lunares de 29 o 30 días, porque el período sinódico de la luna es un poquito variable, con un promedio de 29 días, 12 horas, 44 minutos y 2.9 segundos.
El año lunar consta de 354 o 355 días.

El calendario islámico no está en sincronía con las estaciones (solsticios y equinoccios), no está diseñado de esa manera, pero a sus usuarios eso no les desvela. Cada año presenta un corrimiento hacia adelante de 11o 12 días respecto al calendario gregoriano, sin embargo se mantiene fiel a las lunaciones, esto es: el concepto astronómico de su diseño es constante cada inicio de mes y de año.

Arabia, 15/11/2012, poco después del ocaso del Sol.
En este año 2012 está corriendo el año 1433 AH. Inició con el primer día del   Muharran (26/11/2011) y concluirá con  el último día del Du l-hiyya (14/11/2012). Las respectivas lunaciones iniciaron  con la fase de luna nueva los días 25/11/2011 a las 06:10 UTC y 13/11/2012 a las 22:08 UTC.

Observar el primer creciente lunar, luego de la luna nueva, no es nada simple, requiere conocimiento astronómico teórico y práctico. La observación debe hacerse, a lo sumo uno o dos días después de la luna nueva, es decir cuando tiene la suficiente edad para poder ser observada -por primera vez- (¿sin binoculares ni telescopio?) hacia el oeste, poco después del ocaso del Sol.

Los ajustes periódicos no son problema para ningún calendario astronómico, ni desmerece su calidad. Con conocimiento básico en astronomía y matemática, lo han hecho los pueblos que los usan.

Como el inicio del día se basa en el orto u ocaso del sol, un calendario lunar solo será aplicable de manera estricta en un lugar fijo de la Tierra, puesto que, por ejemplo la observación del primer creciente lunar en Arabia, no coincide en día ni hora con la observación en Costa Rica. 
Para resolver esto se han diseñado ajustes. Podemos, sin embargo, estar seguros que cada inicio de mes islámico, no importa el año, si miramos el cielo al oeste, cerca de la puesta del sol, habrá un cachito creciente de luna y la fase de luna nueva habrá ocurrido no más de dos días antes.

Como citamos arriba, el primer mes del año islámico es el Muharram, pero como desde el punto de vista astronómico, cada inicio de mes es similar, preferí resumirle algunos datos para el primer día del noveno mes, el Ramadán, por su importancia religiosa (cuadro arriba). Note la cercanía de la fecha del inicio del mes con la fecha de la luna nueva.

Un buen ejemplo de un calendario, aparentemente no-astronómico, es el Tzolkin maya, a pesar de la débil coincidencia que he comentado en mi blog (260 días entre un sol cenital y el siguiente).
Cada vez que llega el inicio de un período (en mi blog Ciclos en el tiempo), no se logra encontrar ningún patrón astronómico repetitivo en el Sol, la Luna, Venus, o la esfera celeste.
 
Esto no desmerece este calendario, solo que su diseño parece obedecer a otros criterios, importantes para el pueblo que lo usa. Para celebrar periódicamente algún tipo de festividad, ciclo de cosechas, mayoría de edad, etc.

Por ejemplo yo nací el 12•16•9•5•0 11Ahau 13Cumku y cumplí 73 Tzolkines  cuando volvió a coincidir la fecha del Tzolkin y el Haab, el 12•19•2•0•0
11Ahau 13Cumku.

Para terminar tres preguntas, quizá un poco ingenuas:
  • ¿Cómo sabemos que este año es 2012 (gregoriano), o 1433 (musulmán)? Supongo que de alguna manera se ha llevado la cuenta.
  • ¿Alguien me podría ayudar para saber cuántos Tzolkines han transcurrido desde el inicio del uso de este calendario maya?
    Que no sea con la ayuda del Haab, o de la cuenta larga, ya que eso requiere un poco de matemática que no todos sabemos aplicar.
  • ¿Podría usted encontra otro ejemplo de un calendario astronómico y  de otro no-astronómico?

Referencias adicionales: