2010 TK7 es un Asteroide Troyano de la Tierra

(Análisis semicualitativo, con física y matemática preuniversitaria)

Un Comentario sobre la física y la matemática relacionada con el asteroide troyano de la Tierra 2010TK7, descubierto recientemente.

Primero tenemos que mejorar, algunas simplificaciones que hemos hecho en el pasado: 

1. Cuando aplicamos la ley de gravitación universal para la Tierra y el Sol y decimos simplemente que la fuerza de gravedad entre ellos es igual a la fuerza centrípeta, como lo hicimos en la entrada “Contando segundos para medir kilogramos” no tomamos en cuenta el efecto de otros cuerpos.
   

   

   2010 TK7 en el punto L4, girando respecto
   al centro de masa del sistema
   Tierra-Sol.

   
   Pero quizás lo más importante es que el sistema Sol-Tierra gira con respecto a su centro de masa, esto es, tanto el Sol como la Tierra, realizan órbitas de radios r_S y r_T, alrededor de este punto.
    
2. El centro de masa del Sol y la Tierra, es un punto donde para ciertos propósitos puede considerarse que toda la masa del sistema (M_S + M_T) está concentrada.
   Pero lo más importante es que; ya sea el Sol y la Tierra; La Tierra y la Luna; o usted y su pareja dando vueltas al bailar libremente, lo hacen (cada uno), respecto al centro de masa.
   
   Para un sistema de dos cuerpos el centro de masa es muy fácil de calcular.
   Si r_S y r_T, son las distancias desde el centro de masa, para el Sol y para la Tierra, respectivamente, se cumple que:
   
   
   !Sólo 3 millonésimas de la distancia del centro de masa a la Tierra, evidentemente dentro del Sol!
    
3. Entonces la Tierra hace su revolución alrededor del centro de masa, a una distancia r_T, que si le parece podemos considerar una unidad astronómica. Si aplicamos la segunda ley de Newton tenemos:
   
   
   Independiente de la masa de la Tierra.
    
4. Para el satélite troyano de la Tierra (2010TK7), de masa m’, velocidad tangencial v’ y distancia al centro de masa Sol-Tierra igual a r’, la segunda ley resulta en :
   
   
   Independiente de m’, como era de esperar.
    
5. Si logramos probar que
   
   
   Entonces el periodo orbital de la Tierra y el de su troyano  son iguales, unos 365.3 días. Y así, estos dos cuerpos siempre estarán separados una distancia fija – sin posibilidad de colisionarán entre sí-.
   
    



El asteroide troyano en L4 se mantiene 60
grados delante de la Tierra y a la misma
distancia que ésta, del centro de masa del
sistema Tierra-Sol.

6. Bueno pidámosle ayuda al sr. Joseph-Louis Lagrange, quien en 1772 demostró que el punto L4 de los 5 puntos lagrangianos, comparte la órbita terrestre, 60° delante de la Tierra, en una posición de equilibrio estable.
   
   Aquí puede colocarse un satélite artificial y puede existir un asteroide troyano.
   Para que esto se cumpla, su distancia al centro de masa del sistema Sol-Tierra, debe ser la misma que la distancia de la Tierra a dicho centro de masa, r_T = r’, esto es, que en la figura de la derecha, el triángulo c.m.-T-L4 sea equilátero (lados iguales y ángulos iguales de 60°).

Espero que esto le haya mostrado que la física puede aplicarse a la resolución de algunos problemas simples, quizás ayudada de un poquito de matemática.

¿Puede usted probar la solución?

Aprender Física y matemática básica puede ser una actividad útil, entretenida y agradable, que inclusive puede hacerse de manera autodidacta.
Si en algo le puedo ayudar, envíe su consulta por medio de un comentario.

Referencias:

http://en.wikipedia.org/wiki/Other_moons_of_Earth

http://es.wikipedia.org/wiki/%283753%29_Cruithne