La órbita de la Tierra (Taller)

Marie Lissette Alvarado

Jose Alberto Villalobos

Actividad multidisciplinaria entre asignaturas de ciencias, matemática, estudios sociales y artes. Para un nivel de conocimientos y habilidades de sexto a undécimo año (con asesoría), y para grupos de adultos.

Objetivo: Aprender a trazar una elipse y estudiar algunas de sus propiedades. Dibujar a escala la órbita de la Tierra y marcar en ella solsticios, equinoccios, afelio, perihelio y algunas fechas de interés personal.

Materiales: 1 hoja de papel blanco (tamaño carta 21,6 cm x 27,9 cm), una láminas de cartón corrugado de unos 20 cm x 20 cm (o un periódico), lápiz, bolígrafo, una regla graduada en milímetros, 2 chinches cabezones, pabilo, (opcional: transportador, lápices de colores, calculadora).

Datos orbitales de la Tierra:
Semieje mayor: 1,000 ua = 149,598 x10⁶ km.
Perihelio: 0,983 ua = 147,098 x10⁶ km. Afelio: 1,0167 ua = 152,098 x10⁶ km.
Excentricidad: 0,017.
Periodo orbital: 365,256 días.
Rapidez promedio: 29, km/s = 107 200 km/h.
Fechas 2013:
Perihelio: 2 de enero, equinoccio de primavera: 20 de marzo, solsticio de verano: 21 de junio, afelio: 5 de julio, equinoccio de otoño: 22 de setiembre, solsticio de invierno: 21 de diciembre.

 Procedimiento:
La elipse

1. Corte 22 cm de pabilo y anúdelo para hacer un lazo (lo lleva el profesor y la tijera).
2. Determine el centro de la hoja de papel, mediante el trazado de dos rectas por el punto medio de sus márgenes.
3. Colóquela sobre el cartón corrugado y clave un chinche en el centro.
4. Con la ayuda del lazo y un lápiz trace una circunferencia (figura 1).
   Mida el radio de la circunferencia, calcule su perímetro y su área:
   r =  __, _ cm; C = ____, cm; A = ____, _ cm².
   Se hará un análisis estadístico con esos valores
5. Dele vuelta a la hoja, trace las rectas por el centro y colóquela de nuevo sobre el cartón.
6. Clave un chinche a 0,5 cm del centro (a ambos lados).
   Tense el lazo entre los dos chinches y la punta del lápiz y trace una elipse (figura 2).
   ¿Cuál es la diferencia entre una elipse y una circunferencia?_______________
7. Remueva los chinches marque su posición con las letras F y F’. Trace una recta por esos puntos y extiéndala a ambos lados hasta tocar la elipse.
   En el caso de la órbita terrestre en uno de los foco (digamos F) está el Sol, en el otro no hay nada. El punto en la elipse más cercano al Sol (F), se llama perihelio y el más alejado afelio.
   Identifíquelos y mida la distancia del afelio al perihelio, esto es 2 veces el semieje mayor de la elipse.
   Mida la distancia del Sol (F) al afelio y al perihelio, entonces:
   Semieje mayor a = ___, _ cm.
   Distancia al perihelio = ___, _ cm.
   Distancia al afelio = ___, _ cm.
8. Marque con C el punto medio entre los focos (F y F’) de la elipse, que llamaremos centro. Mida la distancia entre el centro y uno de los focos, que llamaremos  f = ___, _ cm.
   La excentricidad (e) de la elipse es el cociente  f/a.
   Para su elipse e = ___, _.
9. En el centro de la elipse construya una perpendicular desde el eje mayor hasta la elipse. Esta segmento de recta se llama semieje menor (b).
   Mídalo: b = ___,_ cm.
10. La excentricidad de la elipse también puede calcularse mediante la relación e= (a2+b2)1/2/a.
    Calcule  e = ___,_ . Compare este valor con el que obtuvo en el punto 8.
11. Calcule el área de la elipse mediante la relación A= (pi)ab.A=   ___, _ cm².
12. Rotule la posición del Sol, marque las posiciones del afelio y del perihelio y las fechas correspondientes para el año 2013.
13. Coloque el trasportador centrado en el Sol, mida 12° a partir del perihelio en dirección opuesta al recorrido de la Tierra y marque la posición en la órbita terrestre. Ese punto es el solsticio de invierno  (hemisferio norte) que a la fecha esta corrido 12 ° (~12 días antes del perihelio).
14. Trace una recta del solsticio de invierno pasando por el Sol, hasta el otro lado de la órbita. El punto de intersección es el solsticio de verano (12° antes del afelio).
    Rotule los solsticios con sus fechas respectivas
15. Trace una perpendicular a la línea de ápsides (de solsticio a solsticio), pasando por el Sol, será la línea de equinoccios. Los puntos opuestos en la órbita son el equinoccio de otoño y el equinoccio de primavera. Identifíquelos correctamente, rotule con fechas.
16. Use el transportador para dividir cada uno de los cuadrantes (periodo de las estaciones) en sectores de 30°. Solo marque las posiciones en la órbita, que representan la posición de la Tierra alrededor del día 21 de cada mes. ¿Por qué esto es aproximado?
17. Coloque y destaque la Tierra en la fecha de su nacimiento (mes y día).
    ¿Dónde está la constelación que corresponde a su signo zodiacal?
    Márquela en el margen de su hoja.

Tarea opcional: 

1. Dibuje la órbita en una superficie mayor (en la pared de un aula de 2 m x 2 m, por ejemplo. (ojo con la escala).
2. ¿Cómo estarían (aproximadamente) las orbitas de Venus y de Mercurio? ¿Y la de Marte?                  

Puede solicitar asesoría por medio de un comentario

     

La utilizaré en mi próximo curso sobre óptica, en el PIAM 1 - 2027

Será un taller de 8 semanas, con algunas actividades práticas (trazado de rayos, construcciones geométricas). No tiene requisitos.

El curso es esencialmente conceptual, con poco formalismo matemático y físico.

1. Ondas electromagnéticas.
2. Reflexión de la luz y espejos.
3. Refracción de la luz, prismas y lentes.
4. Instrumentos ópticos.
5. Telescopios en la Tierra.
6. Telescopios en el espacio.
7. Imágenes astronómicas.
8. Revisión general.

¿Como se determina (calcula) el epicentro de un sismo *** Respuesta de chatGPT ***

Esta es la mejor edición de la respuesta que pude hacer. Espero que le sea de cierta utilidad, por lo menos para tener una idea de como se usa la iformacióbn recibida de los sismógrafos. 

¡No desprecie sus conocimientos de física de secundaria.
 Siempre podrán ser útiles para tratar al menos de entender un poquito, eventos importantes descritos por la ciencia y la tecnología!

El epicentro de un sismo se determina a partir de los tiempos en que las ondas sísmicas llegan a varias estaciones sismológicas.

1. Primero: distinguir hipocentro y epicentro

• Hipocentro o foco: punto dentro de la Tierra donde comienza la ruptura de la falla.
• Epicentro: punto de la superficie terrestre situado verticalmente sobre el hipocentro.
  

2. Se aprovecha que las ondas viajan a diferentes velocidades

Las principales ondas que se utilizan son:

• Ondas P (primarias): son las más rápidas.
• Ondas S (secundarias): son más lentas.
  
  
• 
  
  
  

Por eso, en una estación sísmica primero llega la onda P y después la S. La diferencia entre sus tiempos de llegada:

Δt=tS​−tP​ permite calcular aproximadamente qué tan lejos estuvo el sismo de esa estación.

Cuanto mayor sea la diferencia tS​−tP​, más lejos está el terremoto.

---

3. Una estación permite determinar una distancia, pero no el epicentro. Supongamos que una estación registra:

• P a las 10:00:10
• S a las 10:00:30

La diferencia es: Δt=20s

Con las velocidades conocidas de las ondas sísmicas, se calcula una distancia, por ejemplo: D≈f(Δt)

La estación sabe entonces:

"El terremoto ocurrió aproximadamente a 150 km de aquí."

Pero podría estar en cualquier dirección a 150 km. Por tanto, se dibuja un círculo alrededor de esa estación, con radio de 150 km.

---

4. Se necesitan al menos tres estaciones

Se hace lo mismo con otras estaciones.Por ejemplo:

• Estación A → 150 km
• Estación B → 100 km
• Estación C → 180 km

Se dibujan tres círculos.

El punto donde los tres círculos se intersectan es la ubicación aproximada del epicentro.

Esto se conoce como triangulación sísmica.

---

5. En realidad, los cálculos modernos son más sofisticados

Los centros sismológicos no se limitan a dibujar tres círculos. Utilizan registros de muchas estaciones y ajustan simultáneamente:

• tiempos de llegada de ondas P y S;
• diferentes tipos de ondas;
• modelos de velocidad del interior de la Tierra;
• profundidad del foco;
• coordenadas geográficas;
• información de muchas estaciones.

Mediante métodos matemáticos se busca el punto —latitud, longitud y profundidad— que mejor explica todos los tiempos observados.

Así se obtiene primero el hipocentro. Una vez conocida su profundidad y posición, se proyecta verticalmente sobre la superficie para obtener el epicentro.

Si usted tiene conocimientos de física, puede verlo como un problema de propagación de ondas y ajuste de datos:

ti​=t0​+vri​​

donde:

• ti​ = hora de llegada a la estación i
• t0​ = hora de origen del terremoto
• ri​ = distancia entre el foco y la estación
• v = velocidad de propagación de la onda.

Con varias estaciones se resuelven simultáneamente las incógnitas:

latitud, longitud, profundidad y hora de origen​ y de ahí se obtiene el epicentro.

Si quiere, puedo mostrarle con un ejemplo numérico completo cómo calcular el epicentro de un sismo en Costa Rica usando tres estaciones sismológicas, haciendo las cuentas paso a paso.

Hagámoslo con un ejemplo didáctico, usando tres estaciones situadas en Costa Rica. Para que las cuentas sean manejables, primero supondremos que conocemos la velocidad de las ondas y que el foco está aproximadamente a la misma profundidad que el plano de cálculo.

1. Datos hipotéticos

Supongamos tres estaciones:

Estación	Coordenadas aproximadas
A — San José	9.93° N, 84.08° O
B — Liberia	10.63° N, 85.44° O
C — Limón	9.99° N, 83.03° O

Un sismo ocurre en algún lugar de Costa Rica. Los sismógrafos registran:

Estación	Llegada P	Llegada S	$S-P$
San José	12:00:10	12:00:27	17 s
Liberia	12:00:15	12:00:39	24 s
Limón	12:00:12	12:00:31	19 s

Para este ejemplo utilizaremos: VP​=6.0km/s VS​=3.5km/s

---

2. Convertimos $S-P$ en distancia

La distancia al foco se puede estimar mediante:

Δt=VS​d​−VP​d​, Despejando d: d=VS​1​−VP​1​Δt​

Como: 3.51​−6.01​=0.11905 obtenemos:

d=0.11905Δt​

San José: dA​=0.1190517​≈143km

Liberia: dB​=0.1190524​≈202km

Limón: dC​=0.1190519​≈160km

Tenemos entonces:

• San José → 143 km
• Liberia → 202 km
• Limón → 160 km

---

3. ¿Qué significa esto?

La estación de San José nos dice: El terremoto está en algún lugar situado a 143 km de San José. Por tanto, podemos imaginar un círculo de radio 143 km alrededor de San José.

La estación de Liberia dice: Está a 202 km de Liberia.

Y Limón: Está a 160 km de Limón.

Los tres círculos deberían cruzarse cerca del epicentro.

---

4. Podemos hacer una aproximación todavía más interesante

Supongamos que al representar esos tres círculos sobre un mapa encontramos que se intersectan aproximadamente en:

10.25∘N,84.70∘O​

Ese sería nuestro epicentro estimado. En otras palabras:

Epicentro ≈ 10.25° N, 84.70° O

que corresponde aproximadamente a una zona del interior de Costa Rica.

---

5. ¿Y qué ocurre con la profundidad?

Aquí aparece una diferencia importante. Los cálculos anteriores nos dan realmente la distancia desde cada estación hasta el foco (hipocentro), no directamente hasta el epicentro. Imaginemos ahora que el cálculo completo de los tiempos P y S, utilizando las tres estaciones, encuentra:

Hipocentro=10.25∘N,84.70∘O,profundidad=25km​. Entonces:

Hipocentro:10.25∘N,84.70∘O,25km

Epicentro: 10.25∘N,84.70∘O​

El epicentro es la proyección del hipocentro sobre la superficie.

---

6. Una precisión importante

En un cálculo real no basta simplemente con tres círculos perfectos. Hay varias complicaciones:

• La velocidad de las ondas cambia con la profundidad.
• La corteza terrestre no es homogénea.
• Las ondas pueden viajar por diferentes capas.
• Las estaciones tienen pequeños errores en los tiempos.
• El sismo tiene una profundidad desconocida.
• La Tierra es aproximadamente esférica, por lo que las distancias grandes no se calculan como simples distancias planas.

Por eso, los centros sismológicos utilizan muchas estaciones, no solamente tres, y realizan un ajuste matemático de los tiempos de llegada.

La idea fundamental puede resumirse así:

P llega primero​S llega despueˊs​S−P⟶distancia​distancias de varias estaciones⟶hipocentro​proyeccioˊn del hipocentro⟶epicentro​

Si quiere llevar esto un paso más allá, puedo hacer un ejemplo verdaderamente geográfico de Costa Rica, colocando las tres estaciones sobre un mapa y calculando latitud, longitud y profundidad del hipocentro mediante ecuaciones, en lugar de suponer la intersección de los círculos.

Coloca las tres estaciones sobre un mapa

Aquí tiene el mapa con las tres estaciones sísmicas de nuestro ejemplo: San José, Liberia y Limón, junto con los círculos correspondientes a las distancias calculadas y el epicentro estimado.