sábado, 25 de junio de 2022

13. Densidad, presión y principio de Arquímedes. PIAM.U.C.R. (Clase del 29/06/2022)

Densidad

El volumen de un cuerpo es la medida de la cantidad de espacio tridimensional que ocupa. 

  • El volumen de algunos sólidos geométricos se puede calcular por medio de algunas fórmulas de cálculo (http://www.onlinemathlearning.com/solid-geometry.html).
  • El volumen de líquidos generalmente se calcula vertiéndolos en un cilindro graduado (en una probeta). 
  • Para medir el volumen de un gas éste debe encerrarse dentro de un recipiente completamente hermético. Pero, el gas siempre ocupará todo el volumen del recipiente.

La unidad de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el “metro cúbico” (m3). Dependiendo del campo de trabajo, también se usan centímetros cúbicos, mililitros, litros, galones, etc.

Un cuerpo como un sólido o un líquido puede caracterizarse por su masa (m), su volumen (V) y su peso (mg), etc.

Si el cuerpo tiene una distribución uniforme de masa, también se puede caracterizar por su “densidad” (ρ).
La densidad de un cuerpo uniforme se define como el cociente de su masa y su volumen:
    

La unidad de medición de densidad  en el SI es el “kilogramo/metro cúbico” (kg/m3).
Pero también se usa la unidad “gramo/centímetro cúbico” (g/cm3).

Con un poquito de manejo matemático se puede probar que 1 g/cm3 = 1000 kg/m3.

La densidad del agua (H2O) destilada es 1 g/cm3 = 1000 kg/m3.
La densidad de la gran mayoría de las substancias es afectada ligeramente por la presión y la temperatura.

Para encontrar la masa de un cuerpo se multiplica el volumen por la densidad y para conocer el volumen de una cierta cantidad de masa, se divide esta por la masa por la densidad.

Presión hidrostática

Si usted introduce un cuerpo como una bola, un huevo, un pez, un submarino y hasta usted buceando bajo la superficie del agua, este cuerpo experimenta una “presión hidrostática” en cada punto de su superficie.

Desde luego la presión también la ejerce cualquier otro líquido y hasta un gas, como ocurre con la “presión atmosférica”, ejercida por  la mezcla de gases que llamamos aire.

La presión que ejerce un fluido (líquidos y gases) depende de la densidad del fluido y su causa principal es el peso del fluido por encima del punto donde medimos la presión.


La presión hidrostática depende entonces de la profundidad. Si buceamos a 10 metros bajo el agua, la presión que sentimos será unas dos veces la que sentimos a una profundidad de 1 metro.

  • La presión se define como la fuerza por unidad de área que ejerce un fluido, sobre cualquier superficie en contacto con el fluido (incluyendo las paredes del recipiente que lo contenga:

Evidentemente ¡La presión no es una fuerza!, es una cantidad que no tiene dirección, solo magnitud; es un escalar.
Esto significa que si en un punto dado de un fluido en reposo, usted intenta medir la presión, no importa como oriente el área, el resultado de la presión siempre será el mismo.
La unidad de medición de la presión es el “newton/metro2” (N/m2). A esta unidad se le denomina “pascal”, en honor al físico y matemático francés Blaise Pascal (https://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal).

Pero en otros campos como en meteorología se usan unidades como “milibares”, “atmósferas”, “milímetros de mercurio” y “libras por pulgada cuadrada”.


Sobre la superficie de la Tierra, el peso de la atmósfera ejerce presión sobre todo lo que hay en ella, es lo que llamamos presión atmosférica.

Nosotros no somos muy conscientes de esta presión atmosférica porque siempre estamos inmersos en la atmósfera y sus cambios debidos a la temperatura, el viento, la humedad y otros factores meteorológicos no los podemos detectar fácilmente, pero si lo hace un instrumento para medir la presión atmosférica, llamado “barómetro”.

El valor estándar de la presión atmosférica terrestre es 101,3 kilo pascales, que es equivalente a “una atmósfera”, o “14,7 libras/pulgada2” y a “760 milímetros de mercurio”.

La presión que ejerce un líquido en un punto a cierta profundidad bajo su superficie es la suma de la presión atmosférica (siempre presente), más la ejercida por el peso del líquido, debido a su densidad y al efecto de la gravedad, resulta ser:

El efecto de la profundidad es muy importante tenerlo en cuenta. Cuando se construye una represa para la reserva de agua de una planta hidroeléctrica, la base de la represa debe ser suficientemente ancha para contrarrestar el gran efecto de la fuerza horizontal sobre la pared, debido a la presión que crece con la profundidad, esto para lograr que el agua no la vuelque.

La fuerza que ejerce la presion hidrostatica sobre la superficie de cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, es siempre perpendicular a la superficie y hacia adentro de ella.
En el caso de un barco que flota en el agua, la resultante de todas las fuerzas sobre la superficie del casco del barco es la que proporciona la fuerza de “empuje” hacia arriba (¡Principio de Arquímedes!), responsable de la flotación del barco.

Si usted está en un bote que tiene un agujero en la base, podrá notar un chorrito de agua subiendo desde el fondo, porque la presión del agua ejerce una fuerza sobre la superficie del bote, perpendicular a ella, la cual arrastra el agua hacia arriba.


La presión ejercida sobre un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido. Esto se conoce con el nombre de “principio de Pascal”.
El funcionamiento de una prensa hidráulica está basado en este principio.

Principio de Arquímedes

Quizás usted ha tenido la experiencia de colocar un cuerpo sólido, como un trozo de madera, o de metal en un líquido como agua, o aún usted mismo en una piscina.
Pueden suceder tres cosas:

  • El cuerpo flota parcialmente sumergido, como lo hace una bola de playa o un bote.
  • El cuerpo se hunde por completo y finalmente descansa en el fondo del recipiente. Como le sucede a una piedra o a un clavo de hierro en el agua.
  • El cuerpo permanece en equilibrio bajo la superficie del líquido, pero siempre totalmente sumergido. Como lo puede hacer un pez o un submarino.

¿En qué consiste la diferencia?
La explicación está en el valor de la fuerza hacia arriba, que ejerce el líquido sobre el cuerpo.
Esta fuerza se llama “empuje” (E) y se calcula por medio del Principio de Arquímedes:


Esto porque el volumen sumergido del cuerpo es igual al volumen que el cuerpo desaloja, cuando se coloca en el líquido.

Entonces se pueden explicar las tres situaciones anteriores:

  1. Si el cuerpo flota parcialmente sumergido, el empuje (E), es igual al peso del cuerpo.
  2. Si el cuerpo se hunde y se val al fondo, el Empuje (E). en menor que el peso del cuerpo.
  3. Si el cuerpo permanece en equilibrio, totalmente sumergido, el empuje (E), es igual al peso del cuerpo.

La construcción de barcos de metal y de otros materiales más pesados que el agua, se logra dándoles una forma de cascarón hueco, tal que pueda desplazar (desalojar) una cierta cantidad de agua, que equilibre el peso total del barco, sin que se hunda completamente. Usted logra algo semejante cuando flota en una piscina.

Un caso interesante es la flotación de un témpano de hielo en el mar. El hielo es menos denso que el agua fresca, porque al congelarse ésta se expande un poco. Por su lado el agua de mar, por efecto de la sal disuelta, es un poco más densa que el agua fresca. El efecto combinado hace que el “iceberg”, flote con solo un 11 % de su volumen fuera del mar.

Presión Atmosférica
La presión atmosférica es causada por la atracción gravitacional del planeta sobre los gases de su atmosfera.

Depende de la masa del planeta, el radio de la superficie, la cantidad y composición de los gases y su distribución vertical en la atmósfera.

Se modifica por la rotación planetaria y los efectos locales como la velocidad del viento, las variaciones de densidad debido a la temperatura y las variaciones en la composición.

En la mayoría de las circunstancias, la presión atmosférica se aproxima por la presión hidrostática causada por el peso  del aire por encima del punto de medición. A medida  que aumenta la elevación, hay menos masa atmosférica superpuesta, por lo que la presión atmosférica disminuye con el aumento de la elevación.


La presión mide la fuerza por unidad de área, con
unidades SI de pascales (1 pascal = 1 newton por metro cuadrado, 1 N/m2).
En promedio, una columna de aire con un área de sección transversal de 1
centímetro cuadrado, medida desde el nivel promedio del mar hasta la parte superior de la atmósfera de la Tierra, tiene una masa de aproximadamente 1,03 kilogramos y ejerce una fuerza o "peso" de aproximadamente 10,1 newton, lo que resulta en una presión de 10,1 N / cm2 o 101 kN / m2  (101 kilopascales).


Una columna de aire con un área de sección transversal de 1 pulgada cuadrada tendría un peso de aproximadamente 14.7 libras, lo que resulta en una presión de 14.7 libras/pulgada cuadrada

A bajas altitudes sobre el nivel del mar, la presión disminuye en aproximadamente 1,2 kPa por cada 100 metros.

Una atmósfera (101.325 kPa o 14.7 psi) es también la presión causada por el peso de una columna de agua fresca de aproximadamente 10.3 m (33.8 pies). Por lo tanto, un buceador a 10,3 m bajo el agua experimenta una presión de aproximadamente 2 atmósferas (1 atm de aire más 1 atm de agua). Por el contrario, 10,3 m es la altura máxima a la que se puede elevar el agua mediante succión en condiciones atmosféricas estándar.

El agua pura hierve a 100 ° C  a la presión atmosférica estándar de la Tierra. El punto de ebullición es la temperatura a la que la presión de vapor es igual a la presión atmosférica alrededor del agua. Debido a esto, el punto de ebullición del agua es más bajo a menor presión y más alto a mayor presión. Cocinar a grandes alturas, por lo tanto, requiere ajustes en las recetas o en la cocción a presión


miércoles, 22 de junio de 2022

12. Leyes de Kepler y movimiento planetario. PIAM - U.C.R. (Clase del 22/06/2022)

 Leyes de Kepler

En astronomía, las leyes de Kepler del movimiento planetario, publicadas por Johannes Kepler entre 1609 y 1619, describen las órbitas de los planetas alrededor del Sol.

Estas leyes modificaron la teoría heliocéntrica de Nicolás Copérnico, reemplazando sus órbitas circulares y epiciclos con trayectorias elípticas, y explicando cómo varían las velocidades planetarias.
Las tres leyes establecen que:

  1. La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos.

  2. Un segmento de línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos iguales de tiempo.

  3. La segunda potencia del período orbital de un planeta es proporcional a la tercera potencia de la longitud del semieje mayor de su órbita.

Las órbitas elípticas de los planetas fueron realizadas por cálculos de la órbita de Marte, basados en datos de observaciones de Tycho Brahe.
A partir de esto, Kepler dedujo que otros cuerpos en el Sistema Solar, incluidos los más alejados del Sol, también tienen órbitas elípticas.

La segunda ley ayuda a concluir que cuando un planeta está más cerca del Sol, viaja más rápido.
Es una consecuencia de la ley de Conservaci
ón de la Cantidad de Movimiento Angular.

La tercera ley expresa que cuanto más lejos está un planeta del Sol, más lenta es su velocidad orbital, y viceversa.

Puede demostrarla con f
ísica de colegio, si aplica la ley de Newton de Gravitación Universal y la Segunda Ley del Movimiento a una órbita circular, recorrida con rapidez constante (una aproximacion simple).



Isaac Newton demostró en 1687 que, relaciones como las de Kepler se aplicarían en el Sistema Solar como consecuencia de sus propias leyes.

 [sic. https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_laws_of_planetary_motion











Sistema Solar
Se puede trabajar la tercera ley de Kepler con base en la extensión de la órbita de la Tierra, aplicándola a cualquier otro planeta en órbita solar y, por simplicidad considerando trayectorias circulares.
Además, si considera el semieje mayor de la Tierra igual a 1 unidad astronómica y el periodo de rotación año. Entonces, se miden los periodos de revolución y se aplica la ecuación anterior, para calcular los respectivos semejes mayores (en unidades astronómicas) de cualquier planetas en órbita alrededor del Sol:

Mercurio: 0.39

Venus: 0.72
Marte: 1.52
Júpiter: 5.2
Ceres:
Saturno: 9.54
Urano: 19.2
Neptuno: 30.06
Plutón:

https://www.jpl.nasa.gov/edu/pdfs/scaless_reference.pdf

Realice usted los dos cálculos que faltan.
¿Como calcularía los semiejes mayores para los satélites de Júpiter y de Saturno?
¿Y para los de un sistema planetario extrasolar?



Juego: Super Planet Crash

domingo, 19 de junio de 2022

Juego: Super Planet Crash. Créditos y licencia del juego: Stefano Meschiari (U. Texas at Austin) & the SAVE/Point Team

Explicación: ¿Se puede crear un sistema planetario que dure 1000 años?  Super Planet Crash, el juego destacado, te permite probarlo. Para crear hasta diez planetas, simplemente haga clic en cualquier lugar cerca de la estrella central. Los tipos de planetas se pueden seleccionar a la izquierda en orden de masa creciente: Tierra, Super-Tierra, Gigante de hielo, Planeta gigante, Enana marrón o Estrella enana. Cada planeta es atraído gravitacionalmente no solo a la estrella central similar al Sol, sino a otros planetas. Se otorgan puntos, con factores de bonificación aplicados para sistemas cada vez más concurridos y habitables. El juego termina después de 1000 años o cuando un planeta es expulsado gravitacionalmente. Muchos sistemas exoplanetarios se están descubriendo en los últimos años, y Super Planet Crash demuestra por qué algunos permanecen estables. Como podrías sospechar después de jugar Super Planet Crash varias veces, hay razones para creer que nuestro propio Sistema Solar ha perdido planetas durante su formación.

👇   🌟 Ir al juego 🌞   👇


Astronomy Picture of the Day
Discover the cosmos! Each day a different image or photograph of our fascinating universe is featured, along with a brief explanation written by a professional astronomer.
2022 June 19.

https://apod.nasa.gov/apod/ap220619.html

Game: Super Planet Crash
Game Credit & LicenseStefano Meschiari (U. Texas at Austin) & the SAVE/Point Team

Explanation: Can you create a planetary system that lasts for 1000 years? Super Planet Crash, the featured game, allows you to try. To create up to ten planets, just click anywhere near the central star. Planet types can be selected on the left in order of increasing mass: EarthSuper-EarthIce giantGiant planetBrown dwarf, or Dwarf star. Each planet is gravitationally attracted not only to the central Sun-like star, but to other planets. Points are awarded, with bonus factors applied for increasingly crowded and habitable systems. The game ends after 1000 years or when a planet is gravitationally expelled. Many exoplanetary systems are being discovered in recent years, and Super Planet Crash demonstrates why some remain stable. As you might suspect after playing Super Planet Crash a few times, there is reason to believe that our own Solar System has lost planets during its formation.

sábado, 18 de junio de 2022

Tarea: PIAM-Conversemos sobre Astronomía: Observar el orto y/o el ocaso del sol el día del solsticio del Norte (21 de junio 2022)

  • El orto del Sol ocurre a las 05:17, con un acimut de 66° (Este-Noreste).
  • El ocaso del Sol ocurre a las 17:59 y el acimut es 294° (Oeste-Noroeste) .
  • El momento (astronómico) de este solsticio es a las 03:13 del día 21 de junio 2022. 👇

(https://www.heavens-above.com/sun.aspx).

Dé unos minutos de tiempo al amanecer, para que el Sol se brinque las montañas que usted tiene al frente.
Esté listo un poco antes al atardecer, porque las montañas le taparán el ocaso antes de que este ocurra.
Lo mejor sería tener un horizonte de playa. De todas maneras, calibre bien su reloj y más bien mida usted esos dos momentos.

  • Note que el Sol sale desviado unos 24° de la recta Este-Oeste, debido a la latitud de Costa Rica (10° N).

Este solsticio marca el inicio (oficial) de la estación de verano en el hemisferio Norte y el correspondiente inicio de la estación de invierno es el hemisferio Sur.
La condición climática no es tan simple, consulte a su meteorólogo (IMN).

La tarea consiste en observar, desde su casa (o desde el punto más cercano de importancia para usted), estos dos eventos y, marcar en el horizonte lejano el orto y el ocaso, ayudándose con algún accidente geográfico. 
Si cree que el nublado no lo va dejar, comience a probar uno o dos día antes (y despu
és) de la fecha.
El Sol "se mueve más lento sobre el horizonte" (🌞sol estático
🌞) en los solsticios que en los equinoccios.

Haga un dibujo, construya una “mira” con estacas, tome una foto.
Si toma fotografía marque la posición y orientación de la cámara, para que pueda tomar otra foto, con el mismo encuadre, para el equinoccio de setiembre y el solsticio de diciembre (¡y en el 2023 en marzo y junio!), para comparar.


Le dejo mis fotos del equinoccio de marzo de este año, desde Zapote, San José. Espero que las de ahora (para mi tarea), me queden más claritas.

https://astronomia10norte.blogspot.com/2022/03/ocaso-del-sol-equinoccial.html

miércoles, 15 de junio de 2022

11. Gravitación universal. PIAM - U.C.R. (Clase del 15/06/2021)

 Gravitación universal

Seguro usted ha experimentado la presencia de un campo electrostático en las cercanías de su cuerpo, lo ha notado por el comportamiento del cabello, o quizás cuando ropa de seda roza su piel.

Si ha manipulado imanes ha sentido la fuerza de atracción o de repulsión entre ellos y como alteran -a distancia- el comportamiento de un brújula, desviando de manera incorrecta la dirección del campo magnético terrestre local.

Un campo electromagnético es una propiedad que adquiere el espacio, diferente a la que existiría  sin la presencia de cargas o corriente eléctrica. Asociamos su magnitud y dirección con la cantidad de carga eléctrica y cómo está distribuida en el espacio.


  • El campo gravitatorio  (estilo Newton) es una propiedad que adquiere el espacio alrededor de un cuerpo causada por -la materia misma-, si quiere cuantificarla diremos que -debido a la masa del cuerpo-.

La Luna, la Tierra, el Sol y un agujero negro como Cygnus X-1, o el del centro de la Vía Lactea (Sagittarius A producen un campo gravitatorio a su alrededor, que se extiende infinitamente (en teoría), pero cada vez más débil.

De manera similar es el campo gravitatorio de su compañero de clase que está en el pupitre de al lado, pero infinitamente más débil.

A menudo ignoramos la existencia del campo gravitatorio de la Tierra y su efecto sobre el peso de los objetos (peso = mg), porque siempre estamos inmersos en él.

Lo mismo pasa con la presión atmosférica, que sólo la sentimos cuando nos duele el tímpano del oído al subir rápidamente a una cumbre (? y también al descender?).


  • El campo gravitatorio de un cuerpo de masa M es causado por esta y por y por su distancia al centro del cuerpo (para una distancia r mayor o igual que su radio R).
  • Además, varía inversamente con cuadrado de la distancia al centro (1/r2), según la concepción de Isaac Newton, expresado en su Ley de Gravitación Universal.

Entonces si hay otro cuerpo vecino de masa m, a una distancia r (centro a centro):


Se producirá una pareja de fuerzas de interacción entre ellos (tercera ley).
Que es siempre de atracción y está dirigida a lo largo de la recta (¡imaginaria!) que va de un cuerpo al otro.

  • La magnitud de la fuerzas grsviscional es directamente proporcional producto de las masas (M)(m), e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa
La lógica nos confirma que si la causa principal de esta fuerza es la masa -de ambos cuerpos- , la dependencia se cuantifica en forma de producto (una suma no tendría sentido).

A la naturaleza le gusta mucho la dependencia matemática del inverso cuadrado de la distancia. No es solo en el caso de la gravedad, también en el campo electrostático, la intensidad luminosa y la intensidad sonora desde una fuente.

La dependencia del inverso cuadrado de la distancia es interesante y si no la aplicamos correctamente  puede conducirnos a cometer errores. Este es un poco frecuente:

¿En cuánto se reduce la magnitud de la aceleración de la gravedad,
en un punto a una altura igual a un diámetro terrestre
sobre la superficie del planeta?

Resuélvalo sin hacer cálculos.

¿Le resultó que se reduce a una novena parte del valor en la superficie?

La constante G de gravitación universal es necesaria para conciliar las unidades (newton en el lado izquierdo, con kilogramo2/metro2 a la derecha), además, para equiparar la magnitud.

 En el Sistema Internacional de Unidades
G = 6,67408 × 10-11 m3 kg-1 s-2.

La ley de gravitación se considera universal, porque se acepta que se aplica en cualquier región del universo.

Para usted que está parado sobre la superficie de la Tierra, a una distancia R del centro, la fuerza es:

Busque los datos en Wikipedia y verá que le dará igual a su peso, es decir: (su masa) x 9,8 N/kg.

La parte g = GM/r2  de la ley de gravitación universal, es el valor del campo gravitatorio de una masa M (digamos que algo redondita) a una distancia r de su centro.

A la distancia donde está la Estación Espacial Internacional, supongamos 400 km encima de la superficie terrestre), el campo gravitatorio que ejerce la Tierra es

Si se manejan bien las unidades, encontrará que esa cantidad ¡no es cero¡.
Entonces ¿por qué los astronautas en la ISS, parece que están en gravedad cero?

Hay que interpretar el significado de los conceptos.
Los astronautas están en un
estado de ingravidez, o de microgravedad, como le pasaría a usted si cayera libremente dentro de un ascensor, o como les sucede por poco tiempo a quienes viajen en el avión de entrenamiento antigravedad.

En realidad, los astronautas en la ISS, todos los satélites alrededor de la Tierra y la Luna, -están cayendo hacia esta-, sólo que se mantienen en órbita debido a que tienen una velocidad tangencial, acorde con la curvatura de la Tierra; caen igual que la manzana de Newton.


¿Sabía que el campo gravitatorio de la Luna y el Sol (sobre la Tierra), son los principales responsables de la marea oceánica en la Tierra?

a. Rapidez de escape


  • Es la rapidez mínima que debe tener un cuerpo (no autopropulsado) para moverse alejándose indefinidamente de otro cuerpo o sistema más masivo al cual le vincula únicamente la gravedad.

Usted ha experimentado lanzando una bola hacia arriba con cierta rapidez, sabe que la bola regresa. Si aumenta la rapidez la bola alcanza más altura, pero también regresa.

Si la lanza al menos con la rapidez de escape, la bola no regresará.

Aplicando conservación de la energía entre dos posiciones

  1. El cuerpo que escapa en la Tierra, su energía cinética y gravitatoria perfectamente calculable.
  2. El cuerpo a una distancia infinita, donde tanto su energía cinética como gravitatoria ¡serían cero!


Se puede demostrar que la rapidez de escape es: 


La ra´pidez de escape desde la superficie de la Tierra, la Luna, el planeta enano Ceres, o Jupiter tiene respectivamente la siguiente magnitud11.186 km/s, 2.38 km/s, 0.51 km/s y 60.20 km/s.

Planetas y satélites con una rapidez de escape pequeña, por su masa y tamaño, no pueden mantener una atmósfera (si en algún momento la tuvieron), porque la agitación térmica de sus gases la supera y entonces escapan, especialmente si tuvieron un pasado algo caliente, como Mercurio y Marte. Al contrario de lo que sucede con Venus, la Tierra y el satélite Titán de Saturno.

 b. Agujero negro

El colapso gravitacional de una estrella ocurre cuando la presión interna de ella es insuficiente para resistir la propia gravedad de ells.

Generalmente sucede porque a la estrella le queda muy poco "combustible" para mantener su temperatura a través  de la nucleosíntesis estelar, o porque la estrella que habría sido estable recibe materia adicional de una manera que no eleva su temperatura central.
La temperatura  y la presión hacia el exterior de la estrella ya no es lo suficientemente alta como para evitar que colapse por su propio peso.

El colapso puede ser detenido por la presión de degeneración  de los constituyentes de la estrella, lo que permite la condensación de la materia en un estado exótico más denso.
El resultado es uno de los diversos tipos de 
estrella compacta.
La estrella original queda sin las capas externas que  han sido voladas (
supernova de tipo II). El remanente es una estrella de neutrones o un agujero negro.



c. Horizonte de eventos

  • En astrofísica, un horizonte de eventos es un límite más allá del cual los eventos no pueden afectar a un observador.
  • Una manera simple de caracterizar el horizonte de eventos de un agujero negro es considerar su rapidez de escape igual la de la luz c= 299,792.458 km/s.
Y entonces usar la ecuación anterior para encontrar la razón M/r

O para encontrar el radio del horizonte de eventos de objetos con masa conocida*

Por ejemplo, para la Tierra, la Luna, Júpiter, o el Sol, si de alguna manera se transformaran en agujeros negros, esos radios serían respectivamente: 8,87 mm; 0,109 mm; 2,82 m y 2,95 km.


*. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Astro/blkhol.html



d. 92 minutos en una órbita rasante a la Tierra. 

Si aplica la ley de gravitación universal a un satélite artificial en una órbita cercana a la superficie de la Tierra, digamos que, a la Estación Espacial Internacional**, que viaja a una altura promedio de 400 km, puede verificar que el período de revolución resulta cercano a 92 minutos.

**https://en.wikipedia.org/wiki/International_Space_Station,

https://matecr.blogspot.com/2018/01/a-traves-de-la-tierra-en-42-minutos.html

e. Masa de un planeta que tenga un satélite
Si estimamos de alguna manera la distancia del centro del planeta al centro del satélite y medimos, usando un buen telescopio y un cronómetro, el período de revolución del satélite, lo podemos hacer***.


Por ejemplo, en el caso de Júpiter y su satélite Europa, el planteamiento es así:
Se iguala la expresión matemática de la fuerza centrípeta al a fuerza de gravedad.


La masa del satélite se simplifica en el cálculo!

¿Y cómo se haría para calcular la masa de Mercurio, o Venus, que no tienen satélites naturales?

Pues se podría hacer con los datos de un satélite artificial.

***. https://fisica1011tutor.blogspot.com/2011/07/contando-segundos-para-medir-kilogramos.html