10. Vibraciones, péndulo simple y movimiento circular PIAM - U.C.R. (Clase del 08/06/2022)

 Vibraciones y sistema masa-resorte

• Una vibración es un movimiento repetitivo (periódico, o no) de partículas de un cuerpo elástico, cuando se separan de su posición de equilibrio y responde a un fuerza que tiende a restaurarlo, por ejemplo, en un resorte, en una banda elástica (liga), o en un péndulo.

Se trata de oscilaciones mecánicas, a diferencia de las oscilaciones electromagnéticas (en realidad ondas) como la luz.
El movimiento armónico simple, se caracterizan por varios parámetros: frecuencia, amplitud, y forma.
Pueden ser naturales (péndulo, masa-resorte o accionadas, si son impuestas por un “actuador”.
El objeto vibrante se mueve alrededor de una posición fija y sobre la misma trayectoria de manera repetitiva, durante el tiempo.
Al igual que la masa en el resorte en la animación de la derecha, un objeto vibrante se mueve sobre el mismo camino durante el tiempo.
En un sistema masa-resorte, si este último está bien construido, la fuerza restauradora es proporcional a la elongación (desplazamiento a partir del equilibrio) y siempre es de dirección opuesta.

• F = - k x (ecuación de Hooke)

El tiempo que tarda (la masa oscilante, o el péndulo) para completar un ciclo– ir y regresar a uno de los extremos de la oscilación, se llama periodo (T). Se mide en segundos.


La frecuencia (f) es el número de oscilaciones (completas) por unidad de tiempo. Se mide en hertz (Hz). 1 Hz = 1 ciclo/segundo. 

El desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio se llama amplitud (A). La amplitud está directamente relacionada con la energía de la vibración.

En el caso del sistema masa resorte, en los extremos de la oscilación , cuando por un instante la masa no oscila (rapidez cero), la energía es potencial elástica.
 Al centro de la oscilación,  cuando la rapidez es máxima, la energía es totalmente cinética.

El trabajo (W) para comprimir (o elongar) un resorte de la posición de equilibrio hasta un desplazamiento x, se calcularía multiplicando una fuerza promedio ( 0 + kx) /2,  por el desplazamiento, x. 

Entonces la energía potencial elástica máxima se tiene cuando la masa está en uno de los extremos de la oscilación y el desplazamiento es A.

Si suponemos que no hay pérdida de energía, esta cantidad debe ser igual a la energía cinética en el punto de equilibrio (cuando x = 0). De esa manera podemos calcular la velocidad máxima, por medio de la igualdad:

[Para la energía no se ha tomado en cuenta -por ahora- la masa oscilante].

Tanto el sistema masa-resorte, como el péndulo, sufren amortiguamiento debido a la pérdida de energía, pero mientras esto no sea excesivamente apreciable, el período y la amplitud de la oscilación se mantienen constantes. Con el paso del tiempo, la amplitud de un objeto vibrante tiende a ser cada vez menor. A medida que se pierde la energía, la amplitud disminuye. Si se le da suficiente tiempo, la amplitud disminuye a 0 a medida que el objeto finalmente deja de vibrar. En este momento, ha transformado toda su energía inicial.

Péndulo simple

Un péndulo simple consiste en un cuerpo de pequeña masa y tamaño, suspendido en el extremo de una cuerda de masa despreciable (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pend.html).

La posición de equilibrio del péndulo simple ocurre cuando la masa está en su punto más bajo (la cuerda está vertical). Allí la tensión hacia arriba de la cuerda es justamente igual al peso de la masa hacia abajo y al no existir otra fuerza sobre el cuerpo, éste está en equilibrio.

Cuando el cuerpo se desplaza un ángulo pequeño (menos de 10 grados) a partir de esa posición de equilibrio y se suelta, entonces realiza oscilaciones hacia uno y otro lado de la posición de equilibrio.

Bajo condiciones ideales:

• El periodo de oscilación (T) del péndulo simple, esto es, el tiempo para ir y venir a uno de los puntos extremos de la oscilación, solo depende del valor local de la aceleración de la gravedad (g) y de la longitud de la cuerda (ℓ).

La longitud (ℓ) se mide desde el centro de masa del cuerpo colgado, hasta el punto de suspensión. 
Esto se puede demostrar teóricamente y mediante un experimento bastante simple de realizar.

La fórmula del período del péndulo simple es útil para medir el valor local de la aceleración de la gravedad (g), en un sitio particular. Solo necesita un péndulo bien construido con una longitud apropiada, por ejemplo 1 metro, un soporte estable, un cronómetro para medir el período y seguir un método de medición que reduzca las incertidumbres al mínimo.

Como la raíz cuadrada del valor promedio de la aceración de la gravedad (9,8 m/s²) es muy cercano al valor de la constante π elevada al cuadrado, resulta que: -un péndulo de segundos- (T = 2 s; un segundo de ida y un segundo de regreso), tiene un largo aproximado de 1,00 m.
Constrúyalo,  pruébelo y haga mediciones del período para luego encontrar el valor local de la aceleración de la gravedad, en el lugar donde usted está.

Si usted se ha mecido en un columpio, sólo y luego con un niño en brazos, habrá notado que el período  ¡es el mismo!  Es independiente de la masa.
Esto es una consecuencia de la aplicación de la segunda ley de Newton; en cierta manera el péndulo ejecuta una especie de caída libre, parametrizada solo por la gravedad local y la longitud del péndulo.

Si quiere hacer un análisis energético, notará que la energía potencial gravitatoria, es máxima en los extremos de la oscilación, cuando el péndulo momentáneamente se detiene. Por el contrario, la energía cinética, crece y luego decrece y alcanza su valor máximo, cuando la rapidez es máxima, en el punto más bajo, cuando la energía potencial es cero.

Las únicas fuerzas que intervienen son; la tensión de la cuerda (siempre a lo largo de ésta) y el peso de la masa, cuyo valor efectivo en la dirección del movimiento (o en contra), proporciona la fuerza recuperadora para que resulte el movimiento armónico simple.

Esas dos fuerzas siempre están en el plano de oscilación, lo que proporciona em medio para verificar la rotación de la Tierra, como se hace usando un péndulo de Foucault*.          👉                                                 👆

* https://www.si.edu/spotlight/foucault-pendulum

Movimiento circular con rapidez constante

Este tipo de movimiento se define como el que realiza una partícula “manteniendo siempre una distancia fija (el radio R) a un centro de rotación, pero de tal manera que la magnitud de la velocidad sea siempre constante”.

Observe que la dirección de la velocidad no puede ser constante, está cambiando a cada instante y si lo analiza con cuidado concluirá que, en cada punto la velocidad tiene la dirección de la tangente a la circunferencia, por eso se le denomina velocidad tangencial (V_T). 

Como la rapidez es constante, el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta también es constante. 
Se denomina período (T) al tiempo de una revolución. En el Sistema Internacional de Unidades se medirá en segundos (s).
Al número de vueltas por unidad de tiempo se le denomina frecuencia (f).

Si una partícula en movimiento circular realiza 10 revoluciones por segundo, entonces su período es un décimo de segundo. Se concluye entonces que el período y la frecuencia son uno el inverso del otro.

• T =1/f;         f =1/T)

La unidad de medición de la frecuencia es 1/segundo (1/s), pero por facilidad de idioma se usa “revoluciones por segundo, o ciclos por segundo”.  Una frecuencia de una revolución por segundo se denomina 1 hertz (1 Hz), en honor al físico alemán Heinrich Rudolf Hertz.

La distancia recorrida en una vuelta es evidentemente una circunferencia (C= 2 π R). y como se realiza con rapidez constante, entonces podemos aplicar la relación simple para calcular rapidez (v= distancia/tiempo). Así que:

• rapidez tangencial = circunferencia/ período
• 

Aunque he llamado al cálculo anterior velocidad tangencial, por costumbre, es en realidad la magnitud de la velocidad (la rapidez tangencial), porque al estar la velocidad cambiando de dirección a cada instante, “el movimiento circular con rapidez constante es acelerado”

Es interesante notar que la aceleración, en este tipo de movimiento no va ni a favor ni en contra de la velocidad, pues de ser así aumentaría o disminuiría la velocidad, lo cual no sucede.
Esta aceleración sólo puede ser perpendicular (a 90°) a la velocidad y como ésta es tangencial, la aceleración está dirigida a lo largo del radio de la circunferencia y hacia su centro. Por eso se le llama “aceleración radial, o aceleración centrípeta” (ac).

Cuando usted con la ayuda de sus brazos hace girar una bola atada a una cuerda, con un movimiento circular, algo parecido a lo que hace un atleta que lanza el martillo; la cuerda o el cable, transmiten la fuerza que usted aplica a la bola.

Esta fuerza está dirigida hacia el centro del círculo, por lo que se le denomina “fuerza centrípeta” y puede calcularse mediante la segunda ley de Newton (F= m a), sustituyendo las cantidades apropiadas.

Cuando usted en su vehículo, da una vuelta en una carretera, el agarre de las llantas y la inclinación apropiada de la carretera (el peralte), deben proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para tomar la curva con seguridad y no derrapar (¡no salirse por la tangente!)

La experiencia dice que, si una curva en una carretera se toma con mucha velocidad, se necesita mayor fuerza centrípeta para no derrapar (buen peralte y llantas en buen estado).
También se requieren condiciones similares, si la curva es muy cerrada (poco radio). De estas dos observaciones se deduce que:

• La fuerza centrípeta requerida aumenta si la velocidad aumenta y disminuye si el radio de curvatura aumenta.

Téngalo presente cuando conduzca su vehículo.

Utilizaré aquí un procedimiento de análisis de unidades, para encontrar la fórmula de cálculo para la aceleración centrípeta. La aceleración se mide en (m/s²).
La aceleración centrípeta depende directamente de la velocidad, lo cual requiere una (v) en el numerador de la fórmula.
Y depende inversamente del radio, esto es una R en el denominador.
Una fórmula aproximada sería entonces ac = v/R, pero las unidades del lado derecho (m/s × m) no concuerdan con las del lado izquierdo. Entonces, si multiplico por v el lado derecho, hay concordancia y entonces:

• 

Que resulta ser la expresión correcta.