Contando segundos para medir kilogramos

(¿Cómo se mide la masa de un planeta sin colocarlo en una balanza?)

Vesta Vista
Image Credit: NASA, JPL-Caltech,
UCLA, MPS, DLR, IDA

Cuando, en unos días, la sonda espacial robótica Dawn, se coloque en una órbita estable alrededor del asteroide número 4 Vesta, podremos determinar (calcular) su masa, gracias a sencillas aplicaciones de la mecánica del movimiento circular y a la ley de Gravitación Universal de Newton. 
Con solo saber su período de revolución (período orbital) alrededor de su centro de atracción (Vesta) y el semieje mayor de la órbita, que los mismos sensores de Dawn medirán, podremos hacerlo.

En realidad este es un procedimiento que se ha utilizado para determinar la masa del Sol, de los planetas y de cualquier objeto que tiene un satélite en órbita: medir el radio orbital, el tiempo de una vuelta completa y aplicar un poquito de física.

Dawn en órbita

En este blog hemos mantenido a la ciencia física a nivel de preuniversitario, por eso vamos a hacer algunas suposiciones más o menos leves, pero que nos producirán resultados aceptables:

• Supondremos órbitas circulares, de radio fijo (R; medido desde el centro), esto es, no consideraremos que las órbitas reales sean elipses, con su punto de menor acercamiento al centro de atracción (periápsis) y su punto de mayor alejamiento (apoápsis). 
• Órbitas que se recorren con rapidez constante (v), aunque en realidad es fácil comprender que, la rapidez debe ser mayor en el punto cercano y menor en el punto lejano de la órbita. 
• Cuando la excentricidad de la órbitas es casi nula, por ejemplo: Neptuno (e = 0.00677323), Urano (0.00858587), Tierra (0.01671022), Ganimedes (0.0013), Tritón (e = 0.00002), las aproximaciones anteriores son buenas. No tanto para la Luna (e = 0.0549) y para Vesta (0.089 17), pero veremos qué resultados obtenemos. 
• Aceptaremos que en primera aproximación se puede no tomar en cuenta el efecto gravitatorio sobre las órbitas, causado por cuerpos vecinos de mayor masa.

Entonces:

Por la ley de gravitación universal, la fuerza centrípeta sobre el satélite tiene una magnitud

Donde G es la constante de gravitación universal, M la masa del centro de atracción (ya sea estrella, planeta, etc.), m la masa del cuerpo en órbita (satélite natural o artificial) y R el radio de la órbita circular, medido desde el centro de masa del centro de atracción.

Además, la mecánica del movimiento circular con rapidez constante nos dice que la magnitud de la fuerza centrípeta es

Donde v es la rapidez (magnitud de la velocidad tangencial) con que se recorre la órbita.

Igualando las ecuaciones anteriores, puesto que la fuerza centrípeta, en este caso, la provee la fuerza de atracción gravitatoria, resulta

que luego de simplificar nos da el cuadrado de la rapidez tangencial:

Note la dependencia solo de la masa del centro de atracción y del radio de la órbita.

Pero la cinemática del movimiento circular con rapidez contante, nos permite una nueva simplificación ya que 

Y de nuevo igualando las dos últimas expresiones resulta:

Que es en esencia, la tercera ley de Kepler para el movimiento planetario.

Para nuestro propósito, despejaremos entonces la masa:

Esto es, basta con medir con muy buena precisión los segundos del período orbital y los metros del radio de la órbita y podemos determinar (calcular) la masa M, ya que las demás cantidades en la ecuación anterior, son contantes universales.

Por ejemplo para la masa del Sol (considerando el período y la distancia a la Tierra) tenemos:

Que es bastante cercano al valor de la masa del Sol, según aparece en Wikipedia: 1.9891 x10³⁰ kg.

¿Cuánto dará el cálculo de la masa de la Tierra, con base en los datos orbitales de la Luna?, cuyo período es 27.321582 días, con un semieje mayor de 384 399 km: 
  

Un valor bastante bueno.

Esperaré a que estén los datos de la órbita de Dawn, para calcular la masa de Vesta, cuyo valor según Wikipedia es 2,71 x10²⁰ kg.

Ahora bien, si su pareja lo mantiene en órbita dando vueltas y usted ya no sabe qué hacer, intente esto:

Mida los newton de la fuerza de atracción  F (quizás con un resorte calibrado) y con un cronómetro cuente los segundos de una vuelta (T), ¡a una distancia (R) prudente pero interesante, digamos 1.0 metro!

Pero confórmese con calcular  su propia masa y seguir dando vueltas, no se puede hacer más.

¿Puede probar esto?