Agrupamiento circular de Marte, Saturno y Venus

El 8 de agosto a las 01:11:38 hora de Costa Rica, los planetas Saturno, Marte y Venus estarán localizados en tres puntos de una circunferencia de pequeño radio angular (2,41 grados de arco).

Si la nubosidad nos da una oportunidad, el evento podrá apreciarse al Oeste, en las dos noches más cercanas, los días sábado 7 y domingo 8, una hora después de la puesta del sol, digamos después de las siete de la noche.

Sin embargo y no es que perdí las esperanzas, pero con el tiempo que tenemos desde hace varios meses, creo que me será difícil realizar una observación.
Si usted lo logra cuéntenos.
Entonces para calmarme un poco solo me queda la astronomía de escritorio y algo de matemática y eso es lo que le cuento a continuación.

Usted sabe que dos objetos puntuales en la esfera celeste, por ejemplo estrellas o planetas, están en línea recta. Esto es consecuencia del primer axioma de la Geometría Euclidiana
("Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une").

Para que un tercer objeto esté sobre dicha recta, deberá satisfacer las condiciones definidas por la ecuación de la recta (y = mx + b), digamos igual pendiente (m) y ordenada en el origen (b).

De manera semejante, a cualquiera dos puntos se le pueden encontrar una circunferencia de radio y centro específico, que los contiene.
¿Qué condiciones deberá cumplir el tercer punto para estar sobre esa circunferencia?
¿Cuál es el centro y el radio de una circunferencia que supuestamente pase por tres puntos?

La solución es simple y entretenida si se realiza con regla y compás, a la usanza de los primeros geómetras griegos.

Pídale a un planetario como Starry Night el cielo de la fecha, e imprima (o trabaje digitalmente) una imagen del agrupamiento de los tres planetas con buen aumento.
Trace las tres supuestas cuerdas entre los planetas y divídalas por la mitad. Trace perpendiculares por los puntos medios, que deberán interceptarse en un solo punto (el centro del círculo). Mida el radio a escala, en este caso es unos 2,4 grados de arco (¡unas cinco lunas llenas!).

Pero también se puede resolver analíticamente, si escribe la ecuaciones de dos de las rectas y hace un poco de álgebra.

Las posiciones de los tres planetas las tomé de Starry Night. Escogí longitud (λ) y latitud (β) eclípticas, ya que ambas coordenadas las proporciona en grados, lo que me evita conversiones.

Marte: longitud = 185,742°; latitud = 0,3626°: P₁: (x₁, y₁).
Saturno: longitud = 181,573°; latitud = 2,2111°: P₂: (x₂, y₂)
Venus: longitud = 181,202°; latitud = -0,5005°: P₃: (x₃, y₃)

Para un pequeño radio como en este agrupamiento, la región de la esfera celeste puede considerarse como un plano y usar las coordenadas eclípticas como coordenadas cartesianas (x, y).

La metodología que seguiré, al alcance de los cursos de álgebra de secundaria, es la siguiente:

1. Trace dos rectas cualquiera, por ejemplo, la recta (a) por los puntos P₁ (Marte) y P₂ (Saturno) y la recta (b) por los puntos P₂ (Saturno) y P₃ (Venus). Encuentre la ecuación de cada una.

   

2. Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a cada una de las anteriores y que pasa por el punto medio respectivo.
3. Estas rectas se interceptan en el centro de la circunferencia, entonces iguálelas y resuelva para (x_o, y_o), el centro del círculo.
4. Aplique el Teorema de Pitágoras para encontrar el radio (r) del círculo.

Recuerde que la pendiente de una recta perpendicular a otra es m'= -1/m, entonces

Igualando tenemos:

Que se puede resolver fácilmente para encontrar la coordenada x del centro, x_o.

Sustituyendo en y' se puede encontrar y_o.

Como uno cualquiera de los planetas, digamos P₁ (Marte), está en la circunferencia y ya tengo las coordenadas del centro (x_o, y_o), el radio lo puedo calcular por el teorema de Pitágoras.

Encontré que el centro del círculo es (183,35°,xxxxxx ) y que el radio es 2,41 grados.

Pero cambiaría todo esto por la oportunidad de tomarle una foto al evento.

Referencias:
Le regroupement planétaire de 8 août 2010.