Centro de masa del Sistema Solar

Hace unos días recibí un correo reenviado en el cual se plantea la siguiente pregunta:
If all the planets were lined up on one side of the Sun ignoring orbital inclinations, approximately how far would the centre of the Sun be displaced from its mean position?

I hope someone can advise. Thanks, Terry Moseley.

Esto es;

• ¿si todos los planetas se alinearan de un mismo lado del Sol, cuánto se desplazaría el centro del Sol de su posición promedio?

Bueno, este es mi intento de respuesta, en términos de lo que cambiaría el centro de masa del Sistema Solar. Espero que sirva de guía, por lo menos para iniciar una interesante discusión.

http://calgary.rasc.ca/orbits.htm

El centro de masa de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. 

En el caso del Sistema Solar esas fuerzas externas serían las que aplicarían los demás componentes de la Vía Láctea, ya que el Sistema Solar sería el sistema "aislado" para su estudio.

Si adoptamos como marco de referencia un sistema de  coordenadas cartesianas tridimensional, en cuyo origen ponemos al Sol (simplemente por ser el cuerpo de mayor masa del sistema), los planetas (en un instante determinado) tendrían posiciones específicas, determinadas por una tripleta ordenada (x_p, y_p, z_p), puesto que giran alrededor del Sol (o mejor alrededor del centro de masa del sistema), en órbitas elípticas no coplanarias.

Solo por referencia visite el artículo inclinación orbital, una característica que no debe confundirla con la de inclinación del eje de rotación respecto al plano orbital, llamada oblicuidad.

Primera simplificación: 

Para facilitar los cálculos vamos a suponer que las órbitas son coplanarias, como lo hacen los niños de escuela que colocan bolas de plastilina sobre una tabla.
Esto nos evita calcular la coordenada z del centro de masa (z_cm).

Segunda simplificación: 

Vamos a hacer el cálculo suponiendo una situación extrema (muy poco probable), en la cual todos los planetas se alinean a un lado del Sol, como usted dice. 

Esto convierte el problema bidimensional en unidimensional, que no es real, pero al menos nos dará una idea del ámbito de variación del centro de masa del sistema.
Entonces solo necesitamos calcular la coordenada x del centro de masa (x_cm), definida como un promedio ponderado de todas las distancias al Sol, donde la masa de cada planeta (y del Sol) es el factor de ponderación:

Esto es: multiplique la masa de cada cuerpo del Sistema Solar (Sol y planetas)  por su distancia al Sol y súmelas. Luego divida por la masa total de los cuerpos (incluyendo al Sol). ¡La distancia del Sol al Sol es cero! (no influye en el numerador , pero si en el denominador.

Me encontré una tabla de datos del Sistema Solar, que da la distancia mínima al Sol (perihelio), la distancia promedio (semieje-mayor de la elipse, a veces considerada como radio de una supuesta órbita circular) y la distancia máxima (afelio).
Se la trascribo simplificada a continuación, las distancias están en unidades astronómicas (ua) y la masa en kilogramos.

Los cálculos los hice suponiendo que:
"todos los planetas estén en sus respectivos perihelios se alinean de un lado del Sol y lo mismo para todas las distancias promedio y para todos los afelios".
Estos son los valores que encontré para la x_cm en las tres  posiciones, bajo los supuestos declarados arriba. Le aconsejo que revise mis cálculos.

Todos en sus perihelios:               x_cm = 0.00964 ua = 1.03 d_S

Todos en sus distancias promedio: x_cm = 0.0100 ua  = 1.09 d_S

Todos en sus afelios:                    x_cm = 0,0105 ua  = 1,13 d_S

(El diámetro del Sol (d_S) es 1.39 x10⁹ m = 9.29 x10^-3 ua)

Los tres resultados sugieren que el centro de masa del sistema solar puede estar separado un diámetro solar del centro del Sol.

Si se alineandel mismo lado, una situación altamente improbable.
 

http://en.wikipedia.org/wiki/Barycenter#Barycenter_in_astronomy

Desde luego,en la realidad y en una fecha particular, los planetas no están alineados de un mismo lado del Sol, sino distribuidos con diferente longitud eclíptica, lo que da una posición de centro de masa que puede variar entre 0,25 d_S (1990) y 2 d_S (1983), como se sugiere en la  figura anterior.

Observaciones:

• La distancia del Sol al origen del sistema de coordenadas no entra en los cálculos, porque el Sol siempre está colocado en origen del sistema de referencia (x = 0). Su masa, sin embargo, si es un factor determinante, de hecho el que más contribuye. 
  
• Tomé en cuenta al planeta enano Plutón, porque estaba en la Tabla de datos del Sistema Solar, que usé.
• Obviamente la masa de los satélites naturales de los planetas y la de los asteroides no está tomada en cuenta.