Física y matemática básica en Astronomía elemental

Apuntes para la charla en ACODEA, 04/06/2008

I. Parte- Mecánica

Posiblemente el concepto más simple y más útil en física sea el de rapidez, establecido como la razón de cambio de la distancia recorrida, respecto al tiempo, esto es:

Cuando esta razón es constante, entonces puede calcularse la distancia recorrida en cualquier tiempo, como:

Por ejemplo, si tomamos la velocidad de la luz en el vacío, como c = 299 792 458 m/s, de acuerdo con la definición hecha en 1994 por la Unión Astronómica Internacional; un año luz es la distancia recorrida por la luz (¡en línea recta!), durante un año juliano. Esto es: 

La ecuación (2) puede extenderse al movimiento circular con rapidez constante, simplemente use como distancia una circunferencia y como tiempo un período:

Donde R es el radio del círculo, T es el período (tiempo para recorrer la circunferencia) y f es la frecuencia (número de vueltas completas por unidad de tiempo).

La rapidez con que gira un punto en el ecuador de la Tierra, debido a su movimiento de rotación es entonces:

Donde el radio ecuatorial se ha tomado como 6,378 1366 x10⁶ m y el período, (un día juliano) igual a 86 400 s.

¿Cómo calcularía esta rapidez, para puntos no ecuatoriales, por ejemplo, para Costa Rica, cuya latitud promedio es 10°N?
Compruebe que dicho valor es 1 644,4 km/h.

La rapidez con que se mueve el centro de la Tierra, debido al movimiento de revolución alrededor del Sol sería entonces:
 

 



Para el movimiento circular con rapidez constante, los físicos han encontrado que la aceleración hacia el centro del círculo (aceleración centrípeta) es:

Encontremos entonces este valor para un punto en el ecuador terrestre (como en la ciudad de Quito, por ejemplo).

Comparada esta aceleración con el efecto puramente gravitatorio de la Tierra, resulta muy pequeño, solo 3,4 milésimas de la aceleración de la gravedad promedio, en la superficie de nuestro planeta (g= 9,8 m/s²), cuya causa principal es la masa y su distribución.

¿Con cuánta fuerza sostiene el Sol a la Tierra?

Hay una forma indirecta de encontrar ese valor, calculando la aceleración centrípeta de la Tierra, debido a la revolución respecto al Sol.

y luego aplicando la Segunda Ley de Newton:

Pero la manera más directa de hacerlo es aplicando la Ley de Newton de Gravitación Universal

Donde G es la constante de gravitación universal. 

En este caso particular, se ha tomado m₁ como la masa de la Tierra, m₂ la masa del Sol y r la distancia promedio Tierra-Sol, una unidad astronómica.

Ahora bien, si consideramos el movimiento circular de un planeta alrededor del Sol, e igualamos la fuerza de gravitación a la fuerza centrípeta, resulta

Sabemos que la Tierra no se mueve con rapidez constante alrededor del Sol, puesto que la órbita es una elipse. Sin embargo, la unidad astronómica se define como el radio de la órbita circular en la cual una partícula de masa despreciable, daría una vuelta en exactamente 365,2568983 días, por lo que aplicando la ley de Kepler resulta:

También se puede obtener la rapidez de un planeta en una órbita circular de radio r, resulta ser:

Es interesante anotar que esta rapidez no depende de la masa del cuerpo en órbita, únicamente de la distancia al centro de atracción y de la masa de este.

Así, la rapidez promedio de la Luna alrededor de la Tierra es:

La Tercera ley de Kepler (7) nos permite determinar la masa de un planeta que tenga un satélite. Por ejemplo si al satélite Ganimedes de Júpiter, le medimos el período orbital (7d 3h 42,6min) y el radio orbital (1,07 x10⁹ m), entonces podemos calcular la masa de Júpiter, que resulta:

Otro concepto útil es el de campo gravitatorio, definido como la fuerza gravitacional por unidad de masa, ejercida por un cuerpo de masa M, en un punto del espacio, lo que también se ha llamado aceleración de la gravedad, esto es

Esta relación solo es válida para puntos fuera del cuerpo de masa M. Así por ejemplo, podemos verificar el valor del campo gravitatorio terrestre en su superficie (en el ecuador), sería:

Para calcular el campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) en la superficie de cualquier planeta o satélite, solo necesita entonces la masa M y el radio de dicho planeta o satélite.

¿Puede calcular el campo gravitatorio del Sol en la fotosfera?

¿A qué altitud sobre la superficie de la Tierra, su campo gravitatorio se ha reducido a la mitad de su valor en la superficie?

Para esta última situación, relacione las siguientes dos ecuaciones y resuelva para r.

¡A poco menos de medio radio terrestre de altura sobre la superficie terrestre!

Un concepto más que se comienza a estudiar a mecánica, es el de energía.

La Energía Cinética, se debe a la masa del cuerpo y a su rapidez y se define como:

La energía cinética del núcleo de un cometa de 2,0 km de diámetro, cuya densidad sea 1000 kg/m³ (¡densidad del agua!), es decir con una masa de 4,19 x10¹² kg y que chocara contra la superficie terrestre a unos 15 km/s, sería:

4,71 x10²⁰ joule equivalente a 1,31 x10¹⁴ kilowatt-hora, o a la energía liberada por 1,126 x10¹¹ toneladas de TNT. También equivalente a la energía liberada por 7,5 millones de bombas atómicas como la que explotó en Hiroshima, Japón, el 6 de agosto de 1945. 
El impacto de Tunguska, el 30 de junio de 1908 se estima que liberó el equivalente energético de 1000 hiroshimas.
 

Los físicos han probado que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una distancia r (centro a centro) de otro de masa M es:

El signo negativo se debe a que el punto de referencia se ha tomado cuando los dos cuerpos están infinitamente separados, esto es, cuando no hay ninguna interacción entre ellos.

Se llama energía mecánica, a la suma de la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo de masa m, dentro del campo gravitatorio de otro de masa M es:

Si m está en una órbita de radio r alrededor de M.

Si un objeto de masa m está sobre la superficie de un planeta de masa M y radio R tiene una energía mecánica dada por la expresión (12). Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima que necesitaría el objeto (no un cohete propulsado), para escapar del campo gravitatorio del planeta, esto es para que llegue a una distancia muy grande (infinita) con una rapidez nula. Aplicando conservación de la energía mecánica tenemos.

Calcule la velocidad de escape de una partícula, por ejemplo una molécula de gas de la atmósfera, para escapar desde la superficie de la Tierra, o de la Luna. Esto no necesariamente significa que la partícula logre así alejarse hasta el infinito, pues puede se atrapada por la gravedad de otro objeto (por ejemplo Júpiter), que se encuentre en el camino.
Además, si la partícula está a gran altura sobre la superficie del planeta, su velocidad de escape será evidentemente menor que la calculada para escapar de la superficie.

La velocidad de escape de una partícula en la superficie del Sol para escapar de la gravedad solar 617,5 km/s.
La condición equivalente para escapar de la Tierra, o de la Luna, requiere una velocidad de escape igual a 11,2 km/s y 2,4 km/s, respectivamente.

La ecuación (13)  puede extrapolarse para ser aplicada a la velocidad de escape desde el horizonte de eventos en un agujero negro. Evidentemente ese valor sería el de la velocidad de la luz.

Si por ejemplo una estrella como el Sol se convirtiera en un agujero negro (no puede lograrlo por su poca masa), el radio de su horizonte de eventos se podría calcular así:

de donde R= 2,954 x10³ m.

Si un cuerpo de la masa de la Tierra se pudiese comprimir hasta lograr las citadas condiciones de agujero negro, su radio debería reducirse a 8,87 mm.