sábado, 6 de noviembre de 2010

Física y matemática básica en Astronomía elemental


Apuntes para la charla en ACODEA, 04/06/2008

I. Parte- Mecánica

Posiblemente el concepto más simple y más útil en física sea el de rapidez, establecido como la razón de cambio de la distancia recorrida, respecto al tiempo, esto es:


 

Cuando esta razón es constante, entonces puede calcularse la distancia recorrida en cualquier tiempo, como:



Por ejemplo, si tomamos la velocidad de la luz en el vacío, como c = 299 792 458 m/s, de acuerdo con la definición hecha en 1994 por la Unión Astronómica Internacional; un año luz es la distancia recorrida por la luz (¡en línea recta!), durante un año juliano. Esto es: 
La ecuación (2) puede extenderse al movimiento circular con rapidez constante, simplemente use como distancia una circunferencia y como tiempo un período:



Donde R es el radio del círculo, T es el período (tiempo para recorrer la circunferencia) y f es la frecuencia (número de vueltas completas por unidad de tiempo).

La rapidez con que gira un punto en el ecuador de la Tierra, debido a su movimiento de rotación es entonces:





Donde el radio ecuatorial se ha tomado como 6,378 1366 x106 m y el período, (un día juliano) igual a 86 400 s.

¿Cómo calcularía esta rapidez, para puntos no ecuatoriales, por ejemplo, para Costa Rica, cuya latitud promedio es 10°N?
Compruebe que dicho valor es 1 644,4 km/h.


La rapidez con que se mueve el centro de la Tierra, debido al movimiento de revolución alrededor del Sol sería entonces:
 
 



Para el movimiento circular con rapidez constante, los físicos han encontrado que la aceleración hacia el centro del círculo (aceleración centrípeta) es:




Encontremos entonces este valor para un punto en el ecuador terrestre (como en la ciudad de Quito, por ejemplo).





Comparada esta aceleración con el efecto puramente gravitatorio de la Tierra, resulta muy pequeño, solo 3,4 milésimas de la aceleración de la gravedad promedio, en la superficie de nuestro planeta (g= 9,8 m/s2), cuya causa principal es la masa y su distribución.

¿Con cuánta fuerza sostiene el Sol a la Tierra?

Hay una forma indirecta de encontrar ese valor, calculando la aceleración centrípeta de la Tierra, debido a la revolución respecto al Sol.





y luego aplicando la Segunda Ley de Newton:





Pero la manera más directa de hacerlo es aplicando la Ley de Newton de Gravitación Universal





Donde G es la constante de gravitación universal. 

En este caso particular, se ha tomado m1 como la masa de la Tierra, m2 la masa del Sol y r la distancia promedio Tierra-Sol, una unidad astronómica.

Ahora bien, si consideramos el movimiento circular de un planeta alrededor del Sol, e igualamos la fuerza de gravitación a la fuerza centrípeta, resulta
Sabemos que la Tierra no se mueve con rapidez constante alrededor del Sol, puesto que la órbita es una elipse. Sin embargo, la unidad astronómica se define como el radio de la órbita circular en la cual una partícula de masa despreciable, daría una vuelta en exactamente 365,2568983 días, por lo que aplicando la ley de Kepler resulta:
También se puede obtener la rapidez de un planeta en una órbita circular de radio r, resulta ser:





Es interesante anotar que esta rapidez no depende de la masa del cuerpo en órbita, únicamente de la distancia al centro de atracción y de la masa de este.
Así, la rapidez promedio de la Luna alrededor de la Tierra es:









La Tercera ley de Kepler (7) nos permite determinar la masa de un planeta que tenga un satélite. Por ejemplo si al satélite Ganimedes de Júpiter, le medimos el período orbital (7d 3h 42,6min) y el radio orbital (1,07 x109 m), entonces podemos calcular la masa de Júpiter, que resulta:





Otro concepto útil es el de campo gravitatorio, definido como la fuerza gravitacional por unidad de masa, ejercida por un cuerpo de masa M, en un punto del espacio, lo que también se ha llamado aceleración de la gravedad, esto es



Esta relación solo es válida para puntos fuera del cuerpo de masa M. Así por ejemplo, podemos verificar el valor del campo gravitatorio terrestre en su superficie (en el ecuador), sería:





Para calcular el campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) en la superficie de cualquier planeta o satélite, solo necesita entonces la masa M y el radio de dicho planeta o satélite.

¿Puede calcular el campo gravitatorio del Sol en la fotosfera?

¿A qué altitud sobre la superficie de la Tierra, su campo gravitatorio se ha reducido a la mitad de su valor en la superficie?

Para esta última situación, relacione las siguientes dos ecuaciones y resuelva para r.






¡A poco menos de medio radio terrestre de altura sobre la superficie terrestre!

Un concepto más que se comienza a estudiar a mecánica, es el de energía.
La Energía Cinética, se debe a la masa del cuerpo y a su rapidez y se define como:




La energía cinética del núcleo de un cometa de 2,0 km de diámetro, cuya densidad sea 1000 kg/m3 (¡densidad del agua!), es decir con una masa de 4,19 x1012 kg y que chocara contra la superficie terrestre a unos 15 km/s, sería:

4,71 x1020 joule equivalente a 1,31 x1014 kilowatt-hora, o a la energía liberada por 1,126 x1011 toneladas de TNT. También equivalente a la energía liberada por 7,5 millones de bombas atómicas como la que explotó en Hiroshima, Japón, el 6 de agosto de 1945. 
El impacto de Tunguska, el 30 de junio de 1908 se estima que liberó el equivalente energético de 1000 hiroshimas.
 
Los físicos han probado que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una distancia r (centro a centro) de otro de masa M es:




El signo negativo se debe a que el punto de referencia se ha tomado cuando los dos cuerpos están infinitamente separados, esto es, cuando no hay ninguna interacción entre ellos.

Se llama energía mecánica, a la suma de la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo de masa m, dentro del campo gravitatorio de otro de masa M es:



Si m está en una órbita de radio r alrededor de M.

Si un objeto de masa m está sobre la superficie de un planeta de masa M y radio R tiene una energía mecánica dada por la expresión (12). Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima que necesitaría el objeto (no un cohete propulsado), para escapar del campo gravitatorio del planeta, esto es para que llegue a una distancia muy grande (infinita) con una rapidez nula. Aplicando conservación de la energía mecánica tenemos.
Calcule la velocidad de escape de una partícula, por ejemplo una molécula de gas de la atmósfera, para escapar desde la superficie de la Tierra, o de la Luna. Esto no necesariamente significa que la partícula logre así alejarse hasta el infinito, pues puede se atrapada por la gravedad de otro objeto (por ejemplo Júpiter), que se encuentre en el camino.
Además, si la partícula está a gran altura sobre la superficie del planeta, su velocidad de escape será evidentemente menor que la calculada para escapar de la superficie.


La velocidad de escape de una partícula en la superficie del Sol para escapar de la gravedad solar 617,5 km/s.
La condición equivalente para escapar de la Tierra, o de la Luna, requiere una velocidad de escape igual a 11,2 km/s y 2,4 km/s, respectivamente.


La ecuación (13)  puede extrapolarse para ser aplicada a la velocidad de escape desde el horizonte de eventos en un agujero negro. Evidentemente ese valor sería el de la velocidad de la luz.
Si por ejemplo una estrella como el Sol se convirtiera en un agujero negro (no puede lograrlo por su poca masa), el radio de su horizonte de eventos se podría calcular así:






de donde R= 2,954 x103 m.

Si un cuerpo de la masa de la Tierra se pudiese comprimir hasta lograr las citadas condiciones de agujero negro, su radio debería reducirse a 8,87 mm.

 

viernes, 22 de octubre de 2010

Primera Ley de la Termodinámica
























































































































































































Si encuentra errores, por favor comuníquelo con un comentario.

Segunda Ley de la Termodinámica

Física III- ITCR.                          Algunos ejercicios resueltos

















































































Hola. Espero que les sean de alguna utilidad.
Si encuentran errores, por favor envíen un comentario

jueves, 9 de septiembre de 2010

Capacitancia y dieléctricos


Sitios recomendados en la Internet, para completar el estudio del tema, según el plan de estudios que utiliza como base, el Capítulo 24 del Libro de texto. Física Universitaria (Sears·Zemanky·Young·Freedman), en el Departamento de Física del Instituto Tecnológico de Costa Rica.

Conceptos básicos׃ Capacitor (condensador), capacitancia, carga, diferencia de potencial, campo eléctrico, capacitor de placas paralelas, faradio, conexión en serie y en paralelo, capacidad equivalente, energía potencial, densidad de energía, dieléctrico, polarización, constante dieléctrica, permitividad.
 
27. CAPACITORS AND DIELECTRICS.
Capacitancia
http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitance
Condensador eléctrico
Capacitor Dielectric
Capacidad
¿Que son los condensadores?
http://www.youtube.com/watch?v=JyBaQypRvII&feature=related

Tutorial de Electrónica Básica 3: Condesadores
http://www.youtube.com/watch?v=Py_Q4z06hCY&feature=fvw

Capacitors in series and parallel and the time constant http://www.youtube.com/watch?v=AamT_L2M-N0
Capacitors in Series
 
http://www.youtube.com/watch?v=UM3OLPVXoA8

Capacitors in Parallel
http://www.youtube.com/watch?v=Pj9nDpsWpCA&feature=related

miércoles, 4 de agosto de 2010

Agrupamiento circular de Marte, Saturno y Venus

El 8 de agosto a las 01:11:38 hora de Costa Rica, los planetas Saturno, Marte y Venus estarán localizados en tres puntos de una circunferencia de pequeño radio angular (2,41 grados de arco).

Si la nubosidad nos da una oportunidad, el evento podrá apreciarse al Oeste, en las dos noches más cercanas, los días sábado 7 y domingo 8, una hora después de la puesta del sol, digamos después de las siete de la noche.

Sin embargo y no es que perdí las esperanzas, pero con el tiempo que tenemos desde hace varios meses, creo que me será difícil realizar una observación.
Si usted lo logra cuéntenos.
Entonces para calmarme un poco solo me queda la astronomía de escritorio y algo de matemática y eso es lo que le cuento a continuación.

Usted sabe que dos objetos puntuales en la esfera celeste, por ejemplo estrellas o planetas, están en línea recta. Esto es consecuencia del primer axioma de la Geometría Euclidiana
("Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une").

Para que un tercer objeto esté sobre dicha recta, deberá satisfacer las condiciones definidas por la ecuación de la recta (y = mx + b), digamos igual pendiente (m) y ordenada en el origen (b).

De manera semejante, a cualquiera dos puntos se le pueden encontrar una circunferencia de radio y centro específico, que los contiene.
¿Qué condiciones deberá cumplir el tercer punto para estar sobre esa circunferencia?
¿Cuál es el centro y el radio de una circunferencia que supuestamente pase por tres puntos?

La solución es simple y entretenida si se realiza con regla y compás, a la usanza de los primeros geómetras griegos.

Pídale a un planetario como Starry Night el cielo de la fecha, e imprima (o trabaje digitalmente) una imagen del agrupamiento de los tres planetas con buen aumento.
Trace las tres supuestas cuerdas entre los planetas y divídalas por la mitad. Trace perpendiculares por los puntos medios, que deberán interceptarse en un solo punto (el centro del círculo). Mida el radio a escala, en este caso es unos 2,4 grados de arco (¡unas cinco lunas llenas!).

Pero también se puede resolver analíticamente, si escribe la ecuaciones de dos de las rectas y hace un poco de álgebra.

Las posiciones de los tres planetas las tomé de Starry Night. Escogí longitud (λ) y latitud (β) eclípticas, ya que ambas coordenadas las proporciona en grados, lo que me evita conversiones.

Marte: longitud = 185,742°; latitud = 0,3626°: P1: (x1, y1).
Saturno
: longitud = 181,573°; latitud = 2,2111°: P2: (x2, y2)
Venus
: longitud = 181,202°; latitud = -0,5005°: P3: (x3, y3)

Para un pequeño radio como en este agrupamiento, la región de la esfera celeste puede considerarse como un plano y usar las coordenadas eclípticas como coordenadas cartesianas (x, y).

La metodología que seguiré, al alcance de los cursos de álgebra de secundaria, es la siguiente:

  1. Trace dos rectas cualquiera, por ejemplo, la recta (a) por los puntos P1 (Marte) y P2 (Saturno) y la recta (b) por los puntos P2 (Saturno) y P3 (Venus). Encuentre la ecuación de cada una.

  2. Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a cada una de las anteriores y que pasa por el punto medio respectivo.
  3. Estas rectas se interceptan en el centro de la circunferencia, entonces iguálelas y resuelva para (xo, yo), el centro del círculo.
  4. Aplique el Teorema de Pitágoras para encontrar el radio (r) del círculo.

Recuerde que la pendiente de una recta perpendicular a otra es m'= -1/m, entonces



Igualando tenemos:




Que se puede resolver fácilmente para encontrar la coordenada x del centro, xo.


Sustituyendo en y' se puede encontrar yo.



Como uno cualquiera de los planetas, digamos P1 (Marte), está en la circunferencia y ya tengo las coordenadas del centro (xo, yo), el radio lo puedo calcular por el teorema de Pitágoras.



Encontré que el centro del círculo es (183,35°,xxxxxx ) y que el radio es 2,41 grados.


Pero cambiaría todo esto por la oportunidad de tomarle una foto al evento.

Referencias:
Le regroupement planétaire de 8 août 2010.

viernes, 11 de junio de 2010

Si (2 pi R) fuera igual a 4 000 millones


Lea primero:
Si g = pi2

Esta es la segunda entrega de mi diseño del planeta para el cuento de ciencia ficción que me propongo escribir. Entonces antes de seguir le presento un cuadro de datos con lo que tenemos hasta ahora sobre dicho planeta:

Estrella…
Planeta…
Período de revolución: 400 días
Período de rotación: ….
Estaciones: si
Campo gravitatorio en superficie: 9,8696 m/s2
Oblicuidad: 20°
Excentric
idad
de la órbita: posiblemente cero (circular)
Satélites naturales: 2
Satélite (1); Trev = 20 días
Satélite (2); Trev: …

Y aquí van las escogencias de hoy. No espere que vaya a sacar la bola del estadio, no será nada tipo Dune, Guerra de las Galaxias, o Avatar (Pandora), quiero un planeta algo similar a la Tierra, que tenga naturaleza y especialmente vida similar a la nuestra, pero sobretodo quiero aprovechar esta oportunidad para enseñar y aplicar ciencia básica real y mis conocimientos, ambas cosas serán un limitante.

Los científicos e ingenieros del planeta midieron (o si le parece calcularon con base en mediciones de ciertas distancias) la circunferencia ecuatorial del planeta (geoide), lo cual resultó ser 4,000 x107 m.
Curiosamente ese fue el valor (teórico al menos), que se propuso cuand
o se midió la longitud de un grado de meridiano terrestre por el año 1792, para la definición original del metro, correctamente inspirada en un valor significativo para la Tierra.
Recuerde que gracias a la ciencia y la ingeniería el metro se ha definido en términos de un estándar más perdurable:
http://physics.nist.gov/cuu/Units/meter.html.

Entonces el radio ecuatorial del planeta está determindo por


y resulta ser

Re = 6,366 x106 m,
ligeramente menor que el de la Tierra (6 378 136,6 m).

Le podré nombre al planeta en la próxima entrega, ¿le gustaría sugerir alguno?

Ahora que ya tengo radio y gravedad en el planeta, su masa ha quedado determinada por la Ley de Newton de gravitación universal, ya que


, donde G es la constante de gravitación universal; G = 6,674 x 10-11 m3/kg s2.

Por lo que la masa M del planeta es M = 5,993 x1024 kg.

Solo 1,940x1022 kg más que la Tierra (MT= 5,9736 x1024 kg). Me agrada esta diferencia, creo que la usaré para la masa de uno de los dos satélites naturales.

Como puede ver, para hacerme las cosas más fáciles (¡siempre que se pueda!) los científicos e ingenieros del planeta escogieron al kilogramo (kg) como la unidad de masa. http://physics.nist.gov/cuu/Units/kilogram.html
Recuerde que 1,000 litro = 1,000 dm3 = 0,001 m3 de agua (H2O), más o menos como el volumen que le cabe a una caja estándar de leche (¡que aveces es casi agua!), tiene una masa algo cercana a un kilogramo.

Hay otra decisión que debo casi aceptar en este momento, pero me agrada:
La variedad y abundancia de elementos y compuestos (con pocas excepciones) en la litosfera y la atmósfera del planeta es la misma que en la Tierra hace unos 100 000 años.
Las excepciones por el momento son: No se ha encontrado petróleo en la corteza
continental ni en la corteza oceánica, pero debe haberlo pues el planeta tiene vida abundante y evolucionada. Hay menos metano y bióxido de carbono
en la troposfera y más ozono en la estratosfera, que en la atmósfera terrestre.

http://en.wikipedia.org/wiki/Abundance_of_elements_in_Earth%27s_crust
http://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Earth

Ahora voy a escoger el periodo de rotación del planeta, lo cual determinará la velocidad lineal de puntos en la superficie, la fuerza centrífuga que experimentan y como disminuirá esto (un poquito) la aceleración de la gravedad en la superficie, además del posible achatamiento del planeta.

El período de rotación va a ser el resultado de escoger una velocidad tangencial en el ecuador, igual a 2000 km/h. Esto es

por lo que T = 19 horas 59 minutos 57,76 s. Cotidianamente diremos que es 20 horas, un período más corto que el de la Tierra (23 horas 46 minutos 4,100 s).

Nos vemos entonces con nuevas ocurrencias y algunas ilustraciones, digamos en un mes.
¿Y las suyas?