Contando segundos para medir kilogramos

(¿Cómo se mide la masa de un planeta sin colocarlo en una balanza?)

Vesta Vista
Image Credit: NASA, JPL-Caltech,
UCLA, MPS, DLR, IDA

Cuando, en unos días, la sonda espacial robótica Dawn, se coloque en una órbita estable alrededor del asteroide número 4 Vesta, podremos determinar (calcular) su masa, gracias a sencillas aplicaciones de la mecánica del movimiento circular y a la ley de Gravitación Universal de Newton. 
Con solo saber su período de revolución (período orbital) alrededor de su centro de atracción (Vesta) y el semieje mayor de la órbita, que los mismos sensores de Dawn medirán, podremos hacerlo.

En realidad este es un procedimiento que se ha utilizado para determinar la masa del Sol, de los planetas y de cualquier objeto que tiene un satélite en órbita: medir el radio orbital, el tiempo de una vuelta completa y aplicar un poquito de física.

Dawn en órbita

En este blog hemos mantenido a la ciencia física a nivel de preuniversitario, por eso vamos a hacer algunas suposiciones más o menos leves, pero que nos producirán resultados aceptables:

• Supondremos órbitas circulares, de radio fijo (R; medido desde el centro), esto es, no consideraremos que las órbitas reales sean elipses, con su punto de menor acercamiento al centro de atracción (periápsis) y su punto de mayor alejamiento (apoápsis). 
• Órbitas que se recorren con rapidez constante (v), aunque en realidad es fácil comprender que, la rapidez debe ser mayor en el punto cercano y menor en el punto lejano de la órbita. 
• Cuando la excentricidad de la órbitas es casi nula, por ejemplo: Neptuno (e = 0.00677323), Urano (0.00858587), Tierra (0.01671022), Ganimedes (0.0013), Tritón (e = 0.00002), las aproximaciones anteriores son buenas. No tanto para la Luna (e = 0.0549) y para Vesta (0.089 17), pero veremos qué resultados obtenemos. 
• Aceptaremos que en primera aproximación se puede no tomar en cuenta el efecto gravitatorio sobre las órbitas, causado por cuerpos vecinos de mayor masa.

Entonces:

Por la ley de gravitación universal, la fuerza centrípeta sobre el satélite tiene una magnitud

Donde G es la constante de gravitación universal, M la masa del centro de atracción (ya sea estrella, planeta, etc.), m la masa del cuerpo en órbita (satélite natural o artificial) y R el radio de la órbita circular, medido desde el centro de masa del centro de atracción.

Además, la mecánica del movimiento circular con rapidez constante nos dice que la magnitud de la fuerza centrípeta es

Donde v es la rapidez (magnitud de la velocidad tangencial) con que se recorre la órbita.

Igualando las ecuaciones anteriores, puesto que la fuerza centrípeta, en este caso, la provee la fuerza de atracción gravitatoria, resulta

que luego de simplificar nos da el cuadrado de la rapidez tangencial:

Note la dependencia solo de la masa del centro de atracción y del radio de la órbita.

Pero la cinemática del movimiento circular con rapidez contante, nos permite una nueva simplificación ya que 

Y de nuevo igualando las dos últimas expresiones resulta:

Que es en esencia, la tercera ley de Kepler para el movimiento planetario.

Para nuestro propósito, despejaremos entonces la masa:

Esto es, basta con medir con muy buena precisión los segundos del período orbital y los metros del radio de la órbita y podemos determinar (calcular) la masa M, ya que las demás cantidades en la ecuación anterior, son contantes universales.

Por ejemplo para la masa del Sol (considerando el período y la distancia a la Tierra) tenemos:

Que es bastante cercano al valor de la masa del Sol, según aparece en Wikipedia: 1.9891 x10³⁰ kg.

¿Cuánto dará el cálculo de la masa de la Tierra, con base en los datos orbitales de la Luna?, cuyo período es 27.321582 días, con un semieje mayor de 384 399 km: 
  

Un valor bastante bueno.

Esperaré a que estén los datos de la órbita de Dawn, para calcular la masa de Vesta, cuyo valor según Wikipedia es 2,71 x10²⁰ kg.

Ahora bien, si su pareja lo mantiene en órbita dando vueltas y usted ya no sabe qué hacer, intente esto:

Mida los newton de la fuerza de atracción  F (quizás con un resorte calibrado) y con un cronómetro cuente los segundos de una vuelta (T), ¡a una distancia (R) prudente pero interesante, digamos 1.0 metro!

Pero confórmese con calcular  su propia masa y seguir dando vueltas, no se puede hacer más.

¿Puede probar esto?

Número 36/Saros 136

(Eclipse total de sol)

Hace veinte años, el 11 de julio de 1991 ocurrió un eclipse total de sol, que casi todos los costarricenses y muchos mexicanos, centroamericanos, colombianos y brasileños pudimos observar en su gloriosa fase total.

Recuerdo que lideré un proyecto de difusión científica en la Escuela de Física de la Universidad de Costa Rica, con el cual tratamos de alertar e instruir, sobre la observación correcta de un eclipse, a casi todos los ciudadanos de este país. La campaña abarcó todo los medios; prensa escrita, radio y televisión. Preparamos folletos informativos y dimos una buena cantidad de charlas en lugares estratégicos, para estudiantes y para el público en general. 

Creo que todos aprendimos como observar correctamente con filtros solares certificados, como escoger binoculares y telescopios, y a tomar fotografías y videos del Sol, con seguridad. Algunos habíamos estudiado un poco la teoría de un evento de esta naturaleza, pero la mayoría nunca lo habíamos experimentado en vivo.

Realizamos cálculos sobre la trayectoria, la línea central de la umbra y su ancho, unos 125 km a cada lado, lo cual cubrió prácticamente todo el territorio de nuestro país, excepto una pequeña cuña de Limón a Isla Calero.

Eso nos permitió predecir la hora de inicio, el máximo y el fin del eclipse para la mayoría de las ciudades cabeceras de cantón de Costa Rica.

A lo largo de la línea central de la umbra, la totalidad tuvo una duración de 5.5 minutos. En Peñas Blancas, el primer contacto ocurrió  a las 12:40 y el inicio de la totalidad a las 14:01. La salida por Paso Canoas se dio con un primer contacto a las 12:50 (10 minutos atravesando el país), el inicio de la totalidad a las 14:09 y a las 15:23 se dio el último contacto y fin del eclipse.

Colegas físicos de las universidades, instituto meteorológico, ice e instituto sismológico, constituimos varios equipos de observación y registro, la mayoría de los cuales acudimos el 11 de julio, a la finca el escarbadero, entre Belén y Filadelfia, en Guanacaste.

El eclipse fue observado y registrado fotográficamente y en video, por miles de costarricenses. 
Los miemboros de la Asociación Costarricense de Astronomía (ACODEA), con escasos 5 años de fundada y Cientec, jugaron un papel destacado, a la par de del sobresaliente trabajo de la UCR. Nos visitaron astrónomos y aficionados de varios países, donde el eclipse no se observó, ni en su fase parcial. Recuerdo haber interaccionado con miembros de observatorios de la Unión Soviética, de Inglaterra y de Estados Unidos.

La experiencia para mí fue única, tanto desde el punto de vista profesional, como personal. He presenciado otros eclipses, parciales y anulares, pero ninguno otro total, de tan larga duración y extraordinaria belleza.

Había planeado asistir al 37/136 en China (vea Eclipses hermanos en mi blog Astronomía 10 grados norte), pero no pude hacerlo.

Ahora mis planes están puestos en la observación del 22/145, un eclipse total de Sol de casi 3 minutos de duración, que atravesará Estados Unidos, desde Oregón hasta Carolina del Sur, el 21 de agosto de 2017.

¿Sabía que el Eclipse Total de Sol del 29 de mayo de 1919, que yo llamo el eclipse de Einstein-Eddington, pertenece a la misma Serie Saros  136 que el Eclipse Total de Sol del 11 de julio 1991, observado en nuestro país?

¿Tiene usted alguna foto de este eclipse de hace veinte años, que quiera compartirla con los lectores de este blog?

Puede enviarla con una corta descripción a javillalobos@ice.co.cr

El regreso de Neptuno a su posición de 1846

(La del descubrimiento)

Neptuno

Neptuno, el octavo planeta del Sol hacia afuera está a una distancia promedio de 30.1 ua (su eje semimayor mide 4.503 x10⁹ km), la luz que refleja del Sol hacia la Tierra tarda poco más de 4 horas y 15 minutos en viajar la distancia que separa los dos planetas.

La magnitud aparente de Neptuno, nunca alcanza valores menores a 7.7, por lo que es invisible al ojo humano y su observación solo pudo hacerse hasta después de la invención del telescopio. Posiblemente haya sido observado (con telescopio) por Galileo Galilei en 1613, Jérôme Lalande en 1795 y John Herschel in 1830, pero no fue reconocido, como un planeta. 

Las irregularidades en la órbita calculada de Urano, hizo que varios astrónomos buscaran la explicación en la existencia de un octavo planeta y en 1845 el astrónomo francés  Urbain Le Verrier y el inglés John Couch Adams, tuvieron éxito en una predicción matemática de su posición en la esfera celeste.
Sin embargo, la fecha de su descubrimiento (observado y reportado) por Johann Gottfried Galle y  Heinrich d’Arrest es 23 de setiembre de 1846.
 
El período orbital de Neptuno es 164.79 años, por lo que en el 2011 estará justamente completando su primera órbita alrededor del Sol, desde su descubrimiento y entonces regresando (aproximadamente) a una posición muy cercana a la que tuvo en esa fecha.

Hace unos días recibí un artículo sobre  el descubrimiento de Neptuno en las noticias del Instituto de Mecánica Celeste y de Cálculo de Efemérides (http://www.imcce.fr/newsletter/html/newsletter.html)  y me pareció apropiado transmitirles mi traducción libre (del francés), junto con unas ligas aclaratorias y ahí les va:

"El planeta Neptuno fue observado por primera vez por Johann Gottfried Galle (1812-1910) y por Heinrich d’Arrest (1822-1875), en el Observatorio de Berlín, con el telescopio Fraunhofer  de 9 pulgadas (23 cm) de apertura, a menos de 1° de la posición calculada por Urbain Le Verrier).

La posición aparente observada es la siguiente: el 23 de setiembre de 1846, a las 12h 0m 14.6s (tiempo medio de Berlín): 328° 19’16.0” de ascensión recta y 13° 24’8.2” de declinación. El instante de la observación 12h 0m 14.6s en tiempo medio de Berlín, es igual a las 23h 7m 49.11s tiempo universal.

Si se calcula la posición astrométrica geocéntrica de Neptuno al instante del descubrimiento, se encuentra 22h 1m 30.820s  en ascensión recta y -12° 40’ 20.38”en declinación. Esta última posición está en la misma referencia (localización) que los catálogos de estrellas (J2000) y corresponde al instante de llegada  a la Tierra de la señal luminosa proveniente de Neptuno.

¿Cuándo habrá dado Neptuno una vuelta completa alrededor del Sol?

Debemos recordar que la trayectoria de Neptuno no una elipse simple, sino una elipse perturbada. El período de revolución alrededor del Sol varía con el paso del tiempo. El cálculo hecho hoy indica que Neptuno habrá dado una vuelta completa alrededor del sol el 3 de julio de 2011 (justamente ayer), alrededor de las 06 horas UTC, pero si se quiere reencontrar la misma posición de Neptuno alrededor del Sol, con respecto a una marca fija, habrá que esperar al 12 de julio de 2011, alrededor de la 20 horas UTC. Esta revolución es independiente de la posición de la Tierra.

 ¿Cuándo observaremos a Neptuno en la misma posición en el cielo que en 1846?

Si buscamos una posición idéntica con respecto a un campo de estrellas, debemos buscar cuando la posición astrométrica del planeta sea la más cercana a la de 1846. Tendremos entonces una imagen casi idéntica a la correspondiente al instante del descubrimiento.

Sin embargo, en el transcurso de los años 2010 y 2011 el planeta, visto desde la Tierra, tiene una trayectoria que presenta bucles debido al movimiento rápido de la Tierra, respecto al movimiento bastante lento de Neptuno. Tiene una dirección retrógrada varias veces y pasa cinco veces por una ascensión recta idéntica a la de 1846, es decir 22h 1m 30.8s:

• El 18/04/2010, a las 05h 03m UT: δ = -12° 33’48.5”; 7’ más al norte que en 1846. 
• El 15/07/2010, a las 20h 12m UT: δ = -12° 36’  8.2”; 4’ más al norte que en 1846.
• El 12/02/2011, a las 07h 38m UT: δ = -12° 36’ 40.8”; 4’más al norte que en 1846.
• El 28/10/2011, a las 08h 51m UT: δ = -12° 41’   6.2”; 1’ más al sur que en 1846. 
• El 22/11/2011, a las 01h 18m UT: δ = -12° 40’ 53.4”; 0.5’ más al sur que en 1846.

El mapa a la izquierda muestra la trayectoria del planeta, en rojo la posición de Neptuno en 1846 en amarillo las cinco posiciones correspondientes a la ascensión recta observada en 1846. La del 22 de noviembre de 2011 es la más cercana a la posición observada. La del 28 de octubre 2011 es igualmente muy próxima. No recuperaremos exactamente la misma posición de Neptuno que en 1846, porque la Tierra no está en esa posición de 1846."

Como ustedes saben los seis objetos errantes para los antiguos griegos (planetas) que se pueden ver a simple vista (al ojo desnudo) son: Mercurio, Venus, (la Luna), Marte, Júpiter y Saturno. El descubrimiento de Urano en 1781, también tiene una historia fascinante, no de colaboración entre matemática y astronomía, sino más bien debido a un salto tecnológico en la construcción de telescopios y al esfuerzo y perseverancia de Caroline y William Herschel, que se la contaremos en la próxima entrada.