lunes, 16 de abril de 2012

Una curiosidad del Sistema de numeración maya

Seguro usted ya la ha notado, pero yo me topé con ella ayer y, aunque digamos que simple y casi trivial, muestra que aprendemos cosas siempre que haya interés y a veces lo que no parece tener importancia, puede al menos, motivarnos para encontrar otras más relevantes.
12  17   9  17  18

Primero, para ubicarnos, revisaré un aspecto interesante del sistema de numeración posicional base 10 (Indo arábico) que usa la  mayoría de los habitantes de la Tierra. Es un sistema posicional estricto, o uniforme, en el cual hay una única base (10).
Entonces, un niño que solo conoce los 10 símbolos numerales (dígitos), es decir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;  al que se le pide que represente el número que quiera, puede colocar en la posición de las unidades, decenas, centenas, etc., cualquiera de los 10 dígitos, sin ninguna restricción.
Así por ejemplo resultan números como [13], [120], [3578], [609400], etc. El único cuidado que debe tener, por economía de espacio y belleza en la presentación, es no colocar el dígito cero (0) en el extremo izquierdo.
Dígitos en el sistema de numeración
maya.

Eso sucede con cualquier sistema posicional con base uniforme, por ejemplo en base cinco, son válidos los números [13]5, [440]5, [43021]5, etc. Que convertidos a base diez corresponden respectivamente a:
3x1 + 1x5= 8; 0x1 + 4x5+ 4x25= 120; 1x1+ 2x5+ 0x25+ 3x125+ 4x625= 2886.

Parece que los mayas usaban un sistema posicional uniforme, base 20, para los cálculos de la vida diaria; conteo de animales, plantas, etc., siempre que no fueran  anotaciones relacionadas con el calendario.
Así, el niño maya que dominara los 20 dígitos (cero a diecinueve) como se ven en la figura 2, no tendría ningún problema en representar cualquier número, e interpretarlo, aplicando la regla de que el valor posicional del primer nivel es (1= 200), del segundo (20= 201), del tercero (400= 202), del cuarto (8000= 203), etc. 
12 17  9 17 19

Sin embargo, en la cuenta larga, para anotar el número de días en sus calendarios, los mayas usaban un sistema mixto, ya que la base cambia a partir del tercer nivel, esto es, los valores posicionales son en este caso del calendario:
Primer nivel (kin): 1
Segundo nivel (winal): 20x1=20
Tercer nivel (tun): 18x20x1= 360
Cuarto nivel (katun):20x18x20x1= 7 200
Quinto nivel (baktun):20x20x18x20x1= 144 000.
Observe lo cálculos en la estelas.

Todo está bien, no parece haber ninguna dificultad más que aprenderse los nuevos valores posicionales. Aprender algo nuevo siempre es bueno, aumenta nuestra comprensión y nos prepara mejor para tomar decisiones en la vida.

Pero cuidado, ahora no se puede simplemente llenar con cualquier dígito maya los niveles. Hay que tener cuidado en el nivel 2.
12 17 10  0  0

Cuando quise escribir cuentas calendáricas usando los dígitos 0 a 19 encontré que, como consecuencia lógica del cambio de base del nivel tres en adelante, en el segundo nivel no se puede usar los dígitos 18 y 19, solo son permitidos del 0 al 17, como lo muestran las estelas.

Esto porque un número como:
[12 17 9 18 0]20, si se trata del calendario debe escribirse como [12 17 10 0 0] 
y [12 17 9 19 0]20, para la cuenta larga debe representarse como [12 17 10  1 0]. 
¡Aunque el valor numérico sea el mismo! 
Excepto si se permite doble representación, pero creo que no.
¿Por qué los mayas hicieron ese cambio? Parece que para correlacionarlo con la duración del año. 
En el sistema decimal que usamos, eso no importa, contamos años en decenas, centenas, milenios, etc. Para el inicio y fin de año usamos primero de enero y 31 de diciembre, al igual que lo hacen los mayas con el inicio y fin del calendario Haab (0 Pop; 4 Uayeb). Pero no reiteramos con el número del año; para nosotros es simplemente una cuenta lineal (vea día juliano), sin aparente ni necesaria periodicidad.

Supongo que nunca se ha encontrado una estela o un códice maya, que represente fechas, con dígitos 18 y 19 en el segundo nivel, pero si en cualquiera de los otros niveles, como se muestra en la figura 5, para el 20 de diciembre de 2012, según la correlación Goodman-Martínez-Thompson.
Algunos cantidades en sistema malla (calendario). No usé puntos y barras, por economía de espacio.
x20x20x20x18x20
x20x20x18x20
x20x18x20
x18x20
x20
x1
= Base 10

0
0
0
0
1
1





2
2





..






19
19




1
0
20




1
1
21




..
..





17
19
359



1
0
0
360



1
0
1
361



..
..
..




19
17
19
7199


1
0
0
0
7200


1
0
0
1
7201


..
..
..
..



19
19
17
19
143999

1
0
0
0
0
144000

1
0
0
0
1
144001

..
..
..
..
..


12
19
19
17
19


13
0
0
0
0
1872000

13
0
0
0
1
1872001

..
..
..
..
..


19
19
19
17
19
2879999
1
0
0
0
0
0
2880000
12  19  19  17  19

Referencias adicionales:

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