Simultaneidad y sincronización de relojes

Un solo observador (caso no relativista)
Supongamos un único observador de eventos, colocado en el origen de un sistema de coordenadas, de un marco de referencia inercial, esto es uno en que se cumplen las leyes de Newton, porque se mueve con velocidad constante (no acelera) respecto a cualquier otro marco de referencia inercial.
Supondremos que la medición de distancias no encierra ningún problema tecnológico, tampoco la medición de tiempos, pero comentaremos esto último con más detalle, para luego contarles algo de lo que aprendí en el curso de Relatividad Especial.
Los siguientes son algunos ejemplos de las situaciones que queremos ilustrar:

1. Suponga que a las distancias de  50 años luz y 30 años luz de la Tierra, explotan al mismo tiempo (simultáneamente), dos estrellas, produciendo sendas supernovas. ¿Cómo podemos determinar la “simultaneidad de los dos eventos”?
2. Suponga que se produce únicamente la primera supernova y que 20 años después ocurre la segunda, de tal manera que la información (radiación electromagnética y neutrinos) le llega simultáneamente al  observador. ¿Cómo califica este observador que esos dos eventos se observan en el origen de su sistema de coordenadas, al mismo tiempo (“simultaneidad del observador”)?

Obviamente debemos tener un conjunto mínimo de relojes idénticos, perfectamente sincronizados, lo cual supondremos que se puede hacer para una discusión teórica como esta.
Solo consideraremos el caso unidimensional, así que el observador en el origen (x= 0) tiene un reloj que inicialmente marca t_o= 0 y que cuando recibe una señal luminosa, por ejemplo, procedente de un evento que sucedió en el punto del espacio-tiempo (x, t), es capaz de indicarle correctamente el tiempo t > t_o, en el cual llegó la señal.

En el curso sobre relatividad especial, el profesor propone imaginar que en cada punto (x) del espacio hay un reloj y un mecanismo (¡fotográfico!) que nos permite registrar la coordenada espacial y el tiempo para cualquier evento. Él lo llama “The photo clock principle”.
Ahora bien, ¿cómo sincronizamos los relojes?
Discutimos dos maneras de hacerlo:

• A. Suponemos que tenemos todos los relojes (idénticos y funcionando correctamente) en el origen, donde hay un reloj maestro, que nos permite sincronizar  los relojes, los cuales luego se transportan a todos los puntos del espacio que nos interesan.
• B. Primero se colocan los relojes en todos los puntos del espacio, pero no están activos. Entonces cuando el reloj maestro del origen marca t = 0, se envía un pulso luminoso, que activará los relojes al llegarles la señal. Pero cada reloj inicia adelantado respecto al reloj maestro, en un tiempo igual a la distancia al origen dividido por la velocidad de la luz (t=d/c). Por ejemplo, si un reloj está a 5 segundos luz del origen, cuando le llega el pulso luminoso inicia con tiempo adelantado igual a 5 segundos. Todo esto basado en la conocida ecuación “distancia = velocidad x tiempo” (c t – x = 0).

De esa manera podemos garantizar, al menos en este “experimento mental”, que lo relojes están sincronizados.

Un ejemplo no relativista, pues la velocidad está dada por la rotación del planeta que es lenta (15°/hora), se da en la Tierra. El reloj maestro y el observador maestro están en el meridiano cero. Los relojes en los otros meridianos, tanto hacia el Este como hacia el Oeste, están sincronizados con lo que llamamos Tiempo Universal Coordinado, lo cual nos permite establecer sin ambigüedad la hora a la que ocurre un evento en cualquier punto de la Tierra, respecto a ese observador. Además, como consecuencia de la sincronización, podemos convertir ese tiempo, con muy poca incertidumbre, a la hora local del cualquier otro observador del que conozcamos su longitud geográfica.
Así, en un poblado cerca de Daca en Bangladés, cuya longitud geográfica sea 90° Este (+90°), el reloj está adelantado 6 horas, respecto al del meridiano cero, mientras que un lugar vecino a Chichen Itzá  en Yucatán, México, con longitud geográfica 270° Este (90° Oeste = -90°), tiene un reloj atrasado 6 horas. San José, Costa Rica (84,0781° Oeste), lo tendría atrasado 5,6052 horas, pero para simplificarnos la vida nos plegamos al huso horario de -90°, lo cual impone una diferencia manejable entre la hora solar y la hora oficial.

http://www.worldandcitymaps.com/gfx/map_of_timezones.jpg

Finalmente, dos eventos E₁(x₁, t₁) y E₂(x₂, t₂) son simultáneos, si para el observador en el origen ocurren de  tal manera que t₁ = t₂, esto es, están en la misma línea de simultaneidad en el espacio-tiempo.
Además, si dos eventos están ligados por causa-efecto, por ejemplo si E₁ es la causa de E₂, es lógico aceptar que t₂  representa un tiempo posterior a t₁, puesto que el efecto no puede preceder a la causa.

Quizás todo lo anterior le haya parecido una conversación sobre algo que ya sabía. En parte así es, porque todo el mundo lo acepta de esa manera. Bueno yo lo repasé para aclararme y reafirmarme los conceptos que utilizaré luego cuando estudie la parte sobre  relatividad de la simultaneidad  y la sincronización de relojes entre dos observadores en movimiento. Repasar en voz alta mis apuntes, siempre me dio buen resultado antes de dar una clase.

Referencias: http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_synchronisation

Luna llena en perigeo - 23 de junio -

La luna llena de junio es la más grande y más sureña de este año.
En términos más precisos, la culminación del periodo creciente de la luna, ocurre el día 23 de junio a las 05:32 (11:32 UTC) y el perigeo (punto más cercano a la Tierra) de este mes sucede solo 5 minutos antes, a las 05:18, por eso esta llena es cercana y grande. Lo de sureña tiene que ver con otra variable, el lunasticio, del cual hablamos en una entrada anterior (http://fisica1011tutor.blogspot.com/2013/06/lunasticio.html).

http://apod.nasa.gov/apod/ap071025.html

Este no se trata de un perigeo excepcionalmente cercano, como el de enero de 2005 (a 356 572 km), o el que habrá en diciembre de 2052 (a 356 425 km). El de este mes ocurre a una distancia Luna-Tierra de 356 991 km (centro a centro).
El perigeo y el apogeo de la Luna, esto es el punto más cercano y el punto más lejano de la órbita de la Luna, alrededor de la Tierra, se repiten cada mes, lo mismo que las lunas llenas y las lunas nuevas, pero son fenómenos no estrictamente relacionados y entonces pocas veces coinciden perigeos con lunas llenas, por ejemplo.

Perigeo y Luna llena
APOD

Recuerde que llamamos mes sinódico al periodo entre dos lunas nuevas consecutivas, que es esencialmente igual al periodo entre una luna llena y la siguiente. Este mes tarda en promedio 29 días, 12 horas, 44 minutos y 2,8 segundos. (Este no es el periodo de revolución, o mes sideral= 27 días, 7 horas, 43 minutos y 11,5 segundos).
Ahora estamos interesados en el mes anomalístico, que es el periodo entre dos perigeos (o entre dos apogeos) consecutivos. Su duración promedio es 27 días, 13 horas, 18 minutos y  33,2 segundos. Recuerde que el perigeo y el apogeo lunar se deben a que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse, con una excentricidad promedio (e= 0,0549006), suficiente para que haya una diferencia apreciable en distancia entre ellos (10%).

La coincidencia o cercanía de perigeos (o apogeos) con la fase de luna nueva (o luna llena) son factores importantes que determinan las características de eclipses de Sol (híbridos, anulares, totales) principalmente, lo mismo que su duración.
Esta coincidencia también influye notablemente en la altura de las marea y en la diferencia de altura entre la marea alta y la marea baja, especialmente en las que ocurren en las vecindades de la luna nueva y de la luna llena. Esto puede fácilmente demostrarse calculando las fuerzas de marea, con una simple aplicación de la Ley de Newton de Gravitación Universal.

La diferencia de fuerza (fuerza de marea) experimentada por la Tierra debido a la Luna, a lo largo de la recta que las une (en nueva, o en llena) tiene una magnitud dada por la ecuación:

Esto hace una diferencia porcentual respecto al promedio de un 38%, lo que considero bastante significativo para ese tirón hacia arriba que produce la marea lunar.

Para finalizar quiero indicarle que la Luna también produce una marea sobre la atmósfera y sobre la parte sólida de la Tierra (la geosfera), fenómenos de los cuales raramente hablamos, quizás porque no vemos sus efectos tan claramente como en el caso de la marea oceánica.
Recíprocamente la Tierra produce una fuerza de marea sobre la Luna, para calcularla necesita sustituir el valor R en la ecuación (1) por el radio de la Luna.

Las fuerzas de marea entre algunos planetas y sus satélites son muy importantes, tal es el caso de Io, que constantemente es “amasado” por las mareas causadas por Júpiter, Europa y Ganimedes, que provocan su extenso vulcanismo.

Bueno, si la física y la matemática no es su pasión, no importa, será sin embargo interesante, observar la Luna el día 23, tanto su ocultación por el Oeste  a las 05:23, como su salida por el Este a las 18:25.
Como una referencia adicional de utilidad para tomar fotografías,  el orto y el ocaso del Sol ocurren a las 05:18 y a las 18:00, respectivamente.

Referencias:
http://cienteccrastro.blogspot.com/2011/03/luna-llena-en-perigeo.html
http://cienteccrastro.blogspot.com/2010/01/la-luna-llena-mas-grande-del-ano.html
El mito de una superluna: http://www.skyandtelescope.com/observing/home/Supermoon-June2013-212330751.html

Trópico de Gemini

El paralelo más al norte, sobre el cual el Sol llega a brillar desde el cenit (la vertical del lugar) al mediodía solar, entre el 20 y el 21 de junio cada año, lo conocemos como Trópico de Cáncer.

http://apod.nasa.gov/apod/ap130802.html

   

Es el círculo sobre la superficie terrestre con latitud 23°26'16" Norte.
Podemos decir que a lo largo de ese paralelo, en esa fecha, todos los sitios sienten el efecto del solsticio de junio (solsticio del norte), que marca el inicio de la primavera en el hemisferio norte.

En este año 2013, el Sol estará sobre este trópico del hemisferio norte, con sus rayos cayendo verticalmente al medio día solar de cada localidad, el día 21 de junio.
El momento propiamente de este solsticio ocurre el día 20 a las 23:04 hora de Costa Rica, pero eso no es un problema, simplemente se debe a que la hora y la fecha en la Tierra, varía de acuerdo al meridiano del observador.

Como la inclinación del eje de rotación de la Tierra (oblicuidad de la eclíptica) varía muy poco en cientos de miles de años (entre 22,0° y 24,5° en 5 millones de años), no cometemos un error grave si afirmamos que quizás desde la antigüedad, hace unos 4000, el paralelo terrestre que tiene sol cenital durante el solsticio de verano en el hemisferio norte, ha estado casi donde está ahora (23°26'16" Norte), aunque se ha medido su lenta  deriva hacia el Sur.

Sin embargo, debido a la precesión del eje de rotación, su contraparte en la esfera celeste ha ido cambiando (una vuelta cada 26000 años).

La constelación Cáncer es una de las más antiguas, usadas por los primeros pueblos que trataron de organizar el cielo, ubicar la trayectoria del Sol y hacer algún tipo de calendario. Hace unos 4000 años el grupo de estrellas de fondo en la posición del Sol durante este solsticio, eran las de Cáncer y ese es posiblemente el origen del nombre Trópico de Cáncer.

Usted puede buscar un poco de respaldo a esta afirmación, si le pide a un programa como Starry Night que le grafique el cielo del 21 de junio para el año 3013 a.C.
La exactitud de estos programas gráficos no es la requerida para pronosticar la hora y la altitud de una conjunción, por ejemplo, pero para el caso que nos ocupa, son bastante buenos. En las imágenes que siguen encuentra la posición del Sol para dos fechas, examínelas y saque usted la conclusión.

Año 3013 a.e.c. Posición del Sol en la esfera celeste, para la fecha del solsticio en el hemisferio norte.

Año 1013 d.e.c. Posición del Sol en la esfera celeste, para la fecha del solsticio en el hemisferio norte.

Como verá en la segunda imagen (1013 d.e.c) siguiente, ahora el Sol durante el solsticio de junio está en la constelación Gemini y en unos años más estará entrando en la constelación Taurus.
De hecho, si atendemos a las fronteras de las constelaciones definidas por la Unión Astronómica Internacional, en estos años:

El Sol entra en la constelación Gemini el 21 de junio
y permanece  dentro de sus límites hasta el 22 de julio.

Es solo después de esa fecha cuando cruza hacia la constelación Cancer.

Posición del Sol en la esfera celeste, para la fecha del solsticio del hemisferio norte.
21 de junio de 2013.

Sin embargo, la astrología lo asocia al signo zodiacal Cáncer, del 21 de junio al 22 de julio, ya que estuvo en esa constelación hace unos 4000 años.

Para no distorsionar algunas cosas, especialmente lo relacionado a cartas astrales y el horóscopo, los signos zodiacales están definidos simplemente por ámbitos de fechas que se han mantenido invariables durante los últimos miles de años.

Esos signos  ya no están estrictamente ligados al cielo de fondo real,
esto es con las posiciones de las constelaciones en la esfera celeste.

 Es por eso que usamos las dos palabras; constelación y signo zodiacal. Espero que usted tenga clara la diferencia.
 
Quizás en unos cincuenta o más años alguien proponga que a este paralelo del solsticio del norte se le cambie el nombre por el de Trópico de Gemini.
Espero que no le hagan caso, pues eso agrega un  poco de ruido en la perfecta y armoniosa música del Sol y las estrellas en el pentagrama de la esfera celeste. 

Es más simple conocer el cambio que ha ocurrido y hacer la apropiada correlación.

Solo por curiosidad y nada más como un ejercicio académico:
¿Cuál sería el nombre que se le ocurriría a alguien para el Trópico de Capricornio, en unos años?

Y algo de mayor actualidad.
¿Dónde está situado en la esfera celeste el Punto Vernal  (Primer Punto Aries), esto es la posición del Sol en el momento del equinoccio de primavera para el hemisferio norte?

Simulador de la eclíptica:
(Click en la imagen y coloque el puntero en la fecha.
Rote y coloque de frente la constelación.)

Relatividad Especial: Diagramas espacio-tiempo

También conocidos como Diagramas de Minkowsky, mi primer contacto formal con esta metodología se produjo en mayo de este año, cuando tomé el curso (coursera):  Understanding Einstein: The Special Thery of Relativity con el profesor Larry Randles de Stanford University.
Lea en mi blog: Einstein en contexto.
Al final de esta entrada puede encontrar una buena lista de referencias, para todos los gustos, pero voy a tratar de mantener el nivel simple y poco matemático, pero suficiente para explicar ciertos aspectos interesantes de la Relatividad Especial, como lo hizo el Dr. Randles.
Un diagrama espacio-tiempo bidimensional, se puede usar como una manera de visualizar la ocurrencia de eventos. Lo usaré solo para el movimiento de un objeto con velocidad constante (v), digamos a lo largo del eje x en un marco de referencia cartesiano, esto es, dentro del ámbito de la Relatividad Especial.

En este diagrama  representaremos la posición en el eje horizontal (x) y el tiempo en el eje vertical (y). No necesariamente estos ejes deben ser perpendiculares entre sí, pero aquí los usaremos de esa manera. Cada evento está definido por un par ordenado (x, t), que representan la posición respecto al origen (x= 0) del evento y el instante del tiempo en que ocurre, a partir del tiempo inicial (t= 0).
Un evento E₁(x₁, t₁), está ligado a otro evento E₂(x₂, t₂) por medio de una recta denominada “línea del mundo” (o línea del universo), que de cierta manera representa la evolución del objeto en el espacio tiempo (no olvide que el movimiento físico verdadero ocurre a lo largo del eje x).

La pendiente de esa recta es “pendiente = Δt/Δx” y está relacionada con la magnitud de la velocidad, esto es la rapidez (v) con que se mueve el objeto: v = distancia recorrida/ tiempo transcurrido= Δx/Δt.
Así que mientras mayor sea la pendiente de la recta en el diagrama espacio-tiempo, menor es la rapidez (v) del objeto y viceversa. Una recta paralela al eje x, cuya pendiente es 0°, que pasa por un cierto tiempo t_o= constante, representa todos los eventos que ocurren simultáneamente (al mismo tiempo t_o), en todas las posiciones (x) y se acostumbra denominar “línea de simultaneidad” para el observador en su marco de referencia.  
Una recta paralela al eje t, cuya pendiente es 90°, que pasa por una cierta posición x_o = constante, representa un objeto que no se mueve, está en reposo, su rapidez es cero, en el marco de referencia del observador. Esa es una “línea de igual posición” para el observador en su marco de referencia.
Evidentemente, si dos objetos se mueven con la misma rapidez, uno delante del otro, por ejemplo el extremo delantero y el extremo trasero de un vehículo, sus líneas del mundo, son dos rectas paralelas con la misma pendiente.
La intersección de dos líneas del mundo significa que los dos objetos comparten el mismo evento en el espacio-tiempo (la misma posición al mismo tiempo).¿Qué significado tiene una línea del mundo (azul), como la ilustrada en la figura 3? El objeto primeramente se mueve hacia la derecha con rapidez v =3/4 años luz/año, hasta la posición x= 3 años luz, a la que llega en un tiempo t= 4 años, luego cambia de dirección y regresa al origen (x= 0), con rapidez v= 3/6 años luz/año, en un tiempo t= 10 años.

Me agradó también la escala que escogió el profesor Randles, para hacer que la velocidad de la luz tenga un valor unitario (c= 1). Así, el tiempo puede medirse en años, días, segundos, etc., pero entonces la distancia se deberá medir respectivamente en “años luz”, “días luz”, “segundos luz”, para que c tenga el valor “1 año luz/año”, “1 día luz/día”, “1 segundo luz/segundo”. Esta escogencia simplifica mucho la matemática cuando se trabaje con las Transformaciones de Lorentz, la dilatación del tiempo y la contracción longitudinal.
Una línea del mundo que tiene una pendiente de 45°(rojo en la Figura 3), representa el conjunto de eventos de un objeto que se mueve con una rapidez v= c (“1 minuto luz/minuto”), por ejemplo un pulso luminoso emitido por una fuente laser. Esta recta divide al espacio-tiempo del observador en dos regiones muy importantes, como veremos a continuación.

Regiones  en el espacio tiempo: cono de luz.

Los eventos 1, 3, 5, 6 y 7 está fuera del como de luz.
2, 4, 10 y 12 están dentro.
(6), (8) (4) están juntamente en el borde.

¿Puede un evento afectar a otro?
La respuesta es sí, siempre que la línea del mundo que liga los dos eventos tenga una rapidez menor (!o igual!) que la velocidad de la luz, lo que significa que si se puede llegar de uno hacia el otro.
Se llama “cono de luz” a la región en el espacio-tiempo comprendida entre la líneas de mundo cuya pendiente es +1 (en el primer y tercer cuadrante) y la línea del mundo cuya pendiente es -1 (en el segundo y cuarto cuadrante), que corresponden a velocidades cuya magnitud es  ± c.
“Todas las líneas del mundo se encuentran en la región entre pendiente +1 y pendiente -1”.
Cualquier evento dentro de la región superior del  cono de luz, puede ser afectado por un evento en el origen, ya que puede ser alcanzado en el tiempo, puesto que la recta que los une tiene una pendiente menor que 1, esto es una velocidad menor que la velocidad de la luz (v < c).
De la misma manera, los eventos que están en la región inferior del cono de luz, pueden afectar al evento que está en el origen.
Particularmente, los eventos que están justo en las rectas que definen el cono de luz pueden afectarse uno al otro, pues dichas rectas representan interacciones a la velocidad de la luz (v= c).
Los eventos que están fuera del cono de luz, estarían ligados por líneas del mundo con una pendiente menor que 1 y entonces, para que uno afecte a otro la interacción tendría que viajar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz (v > c), lo cual es imposible.

Los eventos que están sobre el eje x, por estar en la línea de simultaneidad (t= 0) necesitarían una comunicación instantánea, lo cual es imposible.
Podemos decir entonces que “todo lo que está fuera del cono de luz está demasiado lejos”.
¿Qué utilidad adicional tienen los diagramas espacio tiempo?
Veremos una simple pero eficiente aplicación cuando repasemos dilatación del tiempo y contracción longitudinal.

Tarea: Describa el conjunto de eventos que se ilustran en la Figura 5.

Referencias:
Topic 14 | Space Time Diagrams
Spacetime diagrams and the Lorentz transformations
Physics 220/230 Lab 10: Relativity
Minkowski Diagrams
Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski