Relatividad Especial: Diagramas espacio-tiempo

También conocidos como Diagramas de Minkowsky, mi primer contacto formal con esta metodología se produjo en mayo de este año, cuando tomé el curso (coursera):  Understanding Einstein: The Special Thery of Relativity con el profesor Larry Randles de Stanford University.
Lea en mi blog: Einstein en contexto.
Al final de esta entrada puede encontrar una buena lista de referencias, para todos los gustos, pero voy a tratar de mantener el nivel simple y poco matemático, pero suficiente para explicar ciertos aspectos interesantes de la Relatividad Especial, como lo hizo el Dr. Randles.
Un diagrama espacio-tiempo bidimensional, se puede usar como una manera de visualizar la ocurrencia de eventos. Lo usaré solo para el movimiento de un objeto con velocidad constante (v), digamos a lo largo del eje x en un marco de referencia cartesiano, esto es, dentro del ámbito de la Relatividad Especial.

En este diagrama  representaremos la posición en el eje horizontal (x) y el tiempo en el eje vertical (y). No necesariamente estos ejes deben ser perpendiculares entre sí, pero aquí los usaremos de esa manera. Cada evento está definido por un par ordenado (x, t), que representan la posición respecto al origen (x= 0) del evento y el instante del tiempo en que ocurre, a partir del tiempo inicial (t= 0).
Un evento E₁(x₁, t₁), está ligado a otro evento E₂(x₂, t₂) por medio de una recta denominada “línea del mundo” (o línea del universo), que de cierta manera representa la evolución del objeto en el espacio tiempo (no olvide que el movimiento físico verdadero ocurre a lo largo del eje x).

La pendiente de esa recta es “pendiente = Δt/Δx” y está relacionada con la magnitud de la velocidad, esto es la rapidez (v) con que se mueve el objeto: v = distancia recorrida/ tiempo transcurrido= Δx/Δt.
Así que mientras mayor sea la pendiente de la recta en el diagrama espacio-tiempo, menor es la rapidez (v) del objeto y viceversa. Una recta paralela al eje x, cuya pendiente es 0°, que pasa por un cierto tiempo t_o= constante, representa todos los eventos que ocurren simultáneamente (al mismo tiempo t_o), en todas las posiciones (x) y se acostumbra denominar “línea de simultaneidad” para el observador en su marco de referencia.  
Una recta paralela al eje t, cuya pendiente es 90°, que pasa por una cierta posición x_o = constante, representa un objeto que no se mueve, está en reposo, su rapidez es cero, en el marco de referencia del observador. Esa es una “línea de igual posición” para el observador en su marco de referencia.
Evidentemente, si dos objetos se mueven con la misma rapidez, uno delante del otro, por ejemplo el extremo delantero y el extremo trasero de un vehículo, sus líneas del mundo, son dos rectas paralelas con la misma pendiente.
La intersección de dos líneas del mundo significa que los dos objetos comparten el mismo evento en el espacio-tiempo (la misma posición al mismo tiempo).¿Qué significado tiene una línea del mundo (azul), como la ilustrada en la figura 3? El objeto primeramente se mueve hacia la derecha con rapidez v =3/4 años luz/año, hasta la posición x= 3 años luz, a la que llega en un tiempo t= 4 años, luego cambia de dirección y regresa al origen (x= 0), con rapidez v= 3/6 años luz/año, en un tiempo t= 10 años.

Me agradó también la escala que escogió el profesor Randles, para hacer que la velocidad de la luz tenga un valor unitario (c= 1). Así, el tiempo puede medirse en años, días, segundos, etc., pero entonces la distancia se deberá medir respectivamente en “años luz”, “días luz”, “segundos luz”, para que c tenga el valor “1 año luz/año”, “1 día luz/día”, “1 segundo luz/segundo”. Esta escogencia simplifica mucho la matemática cuando se trabaje con las Transformaciones de Lorentz, la dilatación del tiempo y la contracción longitudinal.
Una línea del mundo que tiene una pendiente de 45°(rojo en la Figura 3), representa el conjunto de eventos de un objeto que se mueve con una rapidez v= c (“1 minuto luz/minuto”), por ejemplo un pulso luminoso emitido por una fuente laser. Esta recta divide al espacio-tiempo del observador en dos regiones muy importantes, como veremos a continuación.

Regiones  en el espacio tiempo: cono de luz.

Los eventos 1, 3, 5, 6 y 7 está fuera del como de luz.
2, 4, 10 y 12 están dentro.
(6), (8) (4) están juntamente en el borde.

¿Puede un evento afectar a otro?
La respuesta es sí, siempre que la línea del mundo que liga los dos eventos tenga una rapidez menor (!o igual!) que la velocidad de la luz, lo que significa que si se puede llegar de uno hacia el otro.
Se llama “cono de luz” a la región en el espacio-tiempo comprendida entre la líneas de mundo cuya pendiente es +1 (en el primer y tercer cuadrante) y la línea del mundo cuya pendiente es -1 (en el segundo y cuarto cuadrante), que corresponden a velocidades cuya magnitud es  ± c.
“Todas las líneas del mundo se encuentran en la región entre pendiente +1 y pendiente -1”.
Cualquier evento dentro de la región superior del  cono de luz, puede ser afectado por un evento en el origen, ya que puede ser alcanzado en el tiempo, puesto que la recta que los une tiene una pendiente menor que 1, esto es una velocidad menor que la velocidad de la luz (v < c).
De la misma manera, los eventos que están en la región inferior del cono de luz, pueden afectar al evento que está en el origen.
Particularmente, los eventos que están justo en las rectas que definen el cono de luz pueden afectarse uno al otro, pues dichas rectas representan interacciones a la velocidad de la luz (v= c).
Los eventos que están fuera del cono de luz, estarían ligados por líneas del mundo con una pendiente menor que 1 y entonces, para que uno afecte a otro la interacción tendría que viajar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz (v > c), lo cual es imposible.

Los eventos que están sobre el eje x, por estar en la línea de simultaneidad (t= 0) necesitarían una comunicación instantánea, lo cual es imposible.
Podemos decir entonces que “todo lo que está fuera del cono de luz está demasiado lejos”.
¿Qué utilidad adicional tienen los diagramas espacio tiempo?
Veremos una simple pero eficiente aplicación cuando repasemos dilatación del tiempo y contracción longitudinal.

Tarea: Describa el conjunto de eventos que se ilustran en la Figura 5.

Referencias:
Topic 14 | Space Time Diagrams
Spacetime diagrams and the Lorentz transformations
Physics 220/230 Lab 10: Relativity
Minkowski Diagrams
Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski