miércoles, 30 de septiembre de 2009

Relatividad especial III. (Cantidad de movimiento)

[MEP: Analizar cualitativa y cuantitativamente la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein. (Anális de la cantida de movimiento relativista)].
Página 51. No encuentro información sobre plan de estudios por Internet.
Recordará usted que la cantidad de movimiento definida en Mecánica Clásica o newtoniana como el producto de la masa (supuestamente constante) de un cuerpo y su velocidad (p = m v), es una cantidad vectorial, con igual dirección que la velocidad del cuerpo.
Esta cantidad  nterviene en una de las leyes de conservación más importantes de la física; la conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Además, está relacionada con la energía cinética del cuerpo a través de la relación 
E.C. = p2/2m y la ecuación más importante de la mecánica, la segunda ley de Newton 
(F = m a), es su forma más básica y util:
F = Δp/Δt.
 
En relatividad el concepto sigue siendo el mismo y las leyes asociadas, solo que las fórmulas de cálculo se modifican para que queden invariables ante las transformaciones de Lorentz y así, sean de valor teórico y práctico. Entonces la cantidad de movimiento lineal se define como:👉👆

Si quiere leer una justificación (física y matemática) de la fórmula anterior, puede seguir esta liga: http://www.fisica-relatividad.com.ar/sistemas-inerciales/cantidad-de-movimiento .

Un buen ejercicio para usted ahora, sería comprobar que la expresión anterior se reduce al valor clásico cuando la velocidad del cuerpo es mucho más pequeña que la velocidad de la luz.

Pero obsérvela de nuevo, parece que está formada por dos partes; el lógico vector velocidad v y algo que llamaremos "masa relativista", o mejor la masa del cuerpo cuando su velocidad es v.👉

¿Entonces qué es m0?
Veamos si podemos justificarlo con un ejemplo.
La Estación Espacial Internacional viaja con una rapidez orbital promedio de 27 744 km/h, esto es 2,6 x10-5c. A pesar de que nos parece una velocidad muy grande, si introduzco ese valor en la fórmula para m, mi calculadora es incapaz de darme un resultado diferente de la unidad, esto me dice, que en este caso m = m0.

¿Y para una partícula que se mueva con velocidad cercana a la velocidad de la luz en el vacío?
Ahora la situación es diferente, haga usted el cálculo para otros valores que le interesen. Pero para 0,5c y para 0,99c obtendrá: m = 1,15m0 y m = 7,09m0, respectivamente.

Como vemos, la masa de un cuerpo es función de su velocidad. Para velocidades normales como las del mundo cotidiano en que vivimos es igual a m0, la masa en reposo, o masa propia del cuerpo. Pero si la velocidad del cuerpo se acerca cada vez más a la velocidad de la luz, la dependencia de la velocidad si es notable.

Ejemplo 1.
Calcule la masa y la magnitud de la cantidad de movimiento de un electrón que tiene una velocidad de a) 0,1c y b) 0,98c. La masa en reposo de un electrón es m0 = 9,109 x10-31 kg.
Resolución:




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sábado, 19 de septiembre de 2009

Relatividad II. (Marcos de referencia)

[MEP: Analizar cualitativa y cuantitativamente la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein. (Descripción de sistemas inerciales y no inerciales)].
Página 51. No encuentro información sobre plan de estudios por Internet.

Todas las descripciones que hacemos de la naturaleza, están referidas o relacionadas con un marco de referencia. Así puedo decir que tengo 20 años más que María, que mi altura es 15 cm menos que la de Ricardo, pero tengo el mismo peso que Eduardo.

Las descripciones que hacemos de un cuerpo en movimiento; su posición, trayectoria, desplazamiento, velocidad y aceleración, generalmente las damos con respecto al marco de referencia en el cual nosotros estamos en reposo. Otros observadores podrán dar descripciones diferentes y estar en lo correcto (respecto a otro marco de referencia), puesto que las características del movimiento citadas, no son leyes de de la física.

La pregunta, ¿estamos en movimiento? , puede tener respuestas diferentes, todas igualmente válidas, dependiendo del marco de referencia usado, por ejemplo:
  • No, en el marco de referencia del salón de clase, donde estamos sentados en un pupitre.
  • Si, respecto a un autobús que va pasando frente al Colegio.
  • No, en el marco de referencia de la nuestra ciudad.
  • Si, respecto a un sistema de coordenadas fijo al eje de rotación de la Tierra.
  • Si, con respecto al Sol y con respecto a la Vía Láctea.

Ejemplo 1.
Suponga que Alberto está en reposo en la acera de una calle, desde donde ve pasar un tren que viaja hacia el Oeste a 15 m/s. Por el pasillo central de un vagón, Bernardo camina hacia el Este a 8,0 m/s, mientras que Carlos lo hace hacia el Oeste a 10 m/s, ambas velocidades respecto al piso del tren. Determinar la velocidad con que cada uno de ellos observa a los otros dos.
Respuestas:
Alberto dirá que Carlos va a 25 m/s hacia el Oeste y que Bernardo aunque curiosamente de pasos hacia adelante, su velocidad es 7,0 m/s hacia el Oeste.
Bernardo dice que Carlos se le acerca, moviéndose hacia el Oeste a 18 m/s, pero Alberto, junto con la acera y la calle se mueve a 7 m/s hacia el Este.
Carlos por su lado, dirá que Alberto y Bernardo se le acercan viajando hacia el Este, el primero a 25 m/s y el segundo a 18 m/s.
¿Si Dorita que está en el vagón, se mueve a 5 m/s hacia el Norte, respecto al piso del tren, con qué velocidad la verá Alberto?
Si no conoce la metodología para encontrar las respuestas, con gusto lo asesoro.
Déjeme un comentario.

Sistema inercial
Pensemos ahora si habrá algo relacionado con las situaciones del ejemplo 1, en lo que todos los observadores estén de acuerdo.
Algo que no dependa de sus marcos de referencia particulares y que entonces pueda considerarse como una ley física.
¿Qué le parece la fuerza neta que actúa sobre cada unos de ellos: Alberto, Bernardo, Carlos o Dorita?
Si dicha fuerza no es cero, ¿no es cierto que verían un movimiento acelerado (con velocidad variable, en magnitud, dirección o ambas)?
Entonces seguramente los observadores dirán que “no actúa ninguna fuerza”, o que en el caso de que haya fuerzas actuando, “la fuerza neta es cero”.

Cuando Galileo Galilei (1564-1642) y posteriormente Isaac Newton (1643-1727) estudiaron la cinemática y la dinámica del movimiento de los cuerpos, descubrieron una importante ley física.

“Todo cuerpo permanece en su estado de reposo,
o de movimiento con velocidad constante,
mientras no actúe una fuerza externa sobre él”.

Esta ley física se conoce como ley de inercia, o si lo prefiere primera ley de Newton.
Entonces llamamos sistema inercial a aquel en el cual se cumple la ley de inercia y por extensión las leyes de Newton del movimiento.
Todos los sistemas de referencia que se muevan con velocidad constante (cero o un valor diferente) entre sí, son también sistemas inerciales y en todos ellos se cumple el principio de relatividad clásica (galileana o newtoniana):

“Las leyes de la mecánica son las mismas en todos los sistema de referencia inerciales”.

Sistema no inercial
Obviamente en un sistema no inercial, no se cumplen las leyes de Newton.
Todo sistema que tenga un movimiento acelerado con respecto a un sistema inercial, se considera entonces un sistema no inercial.

Un vehículo que frena (disminuye su velocidad), uno que incrementa su velocidad, o que realiza algún tipo de rotación, constituye un sistema no inercial.
La Tierra, debido a su movimiento de rotación sobre su eje y de revolución respecto al Sol, es en realidad un sistema no inercial. Sin embargo, la magnitud de la aceleración debido a su rotación es 0,34 m/s2 en el ecuador y cero en los polos, por lo que en la resolución de algunos problemas, la superficie terrestre puede considerarse como un sistema inercial aproximado.

Ejemplo 2
Una caja de 20 kg está en una plataforma circular, a 1,80 m del eje. Dicha plataforma gira con una rapidez angular ω = 2π radianes/segundo. La fricción es despreciable. Describa la situación desde a) el sistema en que la plataforma está en reposo (! observando desde la plataforma misma!) , b) el sistema en que la plataforma gira.
Resolución:
a) Obviamente el sistema (O'x'y'z') es no inercial. La caja entonces experimenta una fuerza (Ff) que tiende a alejarla del centro (fuerza centrífuga).
Para permanecer en reposo, la caja se sujeta a una cuerda atada al eje de rotación, la cual ejerce una fuerza sobre ella, dirigida hacia el eje.

En este sistema no se cumple la primera ley de Newton y además, aparece una fuerza ficticia (o no inercial), cuya causa no se puede atribuir a ninguna interacción entre algún cuerpo y la caja. Determinar el valor de dicha fuerza no es simple con física elemental, pero lo haremos en el sistema inercial y veremos si su resultado es aceptable aquí.

b) En el sistema inercial (Oxyz) la aceleración centrípeta de la caja es
ac = v2/R = ω2 R= 71 m/s2.
La fuerza centrípeta sobre la caja es
F = m a = (71 m/s2)(20 kg) = 142 N.

¿Le parece que esta cantidad (142 N), sea la magnitud de la "fuerza centrífuga" que resulta de manera ficticia en el sistema no inercial?  Pues así es.

Referencias adicionales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_de_Galileo
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMe
chanics/Relativity/Relativity.html

http://www.armsdeal-vpo.co.za/cartoons/frame_reference.jpg
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viernes, 11 de septiembre de 2009

Relatividad especial I. (longitud y tiempo)

[MEP: Analizar cualitativa y cuantitativamente la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein. (Análisis de la relatividad de la longitud y el tiempo)].
Página 51. No encuentro información por Internet.
Indice
 
El experimento de Michelson y Morley, para descubrir un marco de referencia preferencial para la ecuaciones del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), tuvo resultado nulos. Esto es, sirvió para probar definitivamente que la velocidad de la luz permanece constante, independiente del sistema de referencia en el cual se hace la medición. No importa si la fuente luminosa o el observador están en reposo o tienen algún movimiento relativo con velocidad constante, contrariamente a lo esperado si se aplican las transformaciones de Galileo. 

Este resultado puso a la ciencia ente la disyuntiva de escoger un nuevo principio de relatividad para sustituir el principio clásico de relatividad galileana.
En 1905, después de un examen crítico de los conceptos de espacio, tiempo y simultaneidad, Albert Einstein (1879-1955) formuló una nueva versión del principio de relatividad, válido para todas las leyes de la física.

Los dos siguientes enunciados, se conocen como los postulados de la relatividad especial o restringida:
  1. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto.

  2. La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.

    El principio de relatividad es equivalente a la existencia de un conjunto universal de ecuaciones de transformación y la invariancia de todas las leyes físicas bajo tales transformaciones.
Ese conjunto de ecuaciones son las denominadas transformaciones de Lorentz, para pasar las coordenadas espaciales x, y, z y el tiempo t del marco S al marco S', 👈👇.
Solo para completar el tema las escribimos a continuación, pero su manejo y aplicación no se consideran parte requerida del plan de estudios:

β (beta) es un coeficiente adimensional, resultado de dividir la velocidad relativa (V) entre los dos sistema S y S' y la velocidad de la luz en el vacío (c = 299 792 458 m/s). γ (gama) se denomina el factor de Lorentz. 

Compruebe que cuando V = 100 m/s (360 km/h), la velocidad de un fórmula 1, β = 3,3 x10-7, ¡prácticamente cero! 

Además γ = 1 y entonces las cuatro coordenadas tienen esencialmente el mismo valor en los dos sistemas S y S'.

Sin embargo, cuando V es cercana a la velocidad de la luz, digamos V = 0,8 c, el coeficiente
 β = 0,8 y el factor es Lorentz γ es 1,67, lo cual produce valores diferentes entre las coordenadas de ambos sistemas.
 
De acuerdo con la física clásica y las transformaciones galileanas, el tiempo es un invariante y se supone evidente el hecho de que dos cronómetros en marcos de referencia diferentes pueden sincronizarse sin ningún problema.
Ahora bien, el proceso de sincronización requiere la transmisión de información de un sistema de referencia a otro, por medio de una señal, cuya máxima velocidad es la velocidad de la luz en el vacío.

Por otro lado, el concepto de simultaneidad solo tiene significado en un marco de referencia donde los cronómetros, las fuentes de luz y los observadores están en reposo, es decir, no puede definirse independientemente de las coordenadas espaciales para dos observadores que están en movimiento relativo.

Dilatación del tiempo y contracción longitudinal
Todo evento físico está localizado en el espacio y en el tiempo. Un observador que está en reposo en el marco de referencia donde ocurre un evento, puede medir con un único cronómetro la duración del mismo. El intervalo de tiempo medido en este marco de referencia se llama tiempo propio, To.
También este observador en reposo puede determinar simultáneamente la posición de los extremos de un objeto, para determinar su longitud, la cual llamaremos longitud propia, Lo.
 
Puede demostrarse a partir de las transformaciones de Lorentz que las mediciones del tiempo no propio T y la longitud no propia L, hechas por otro observador en un marco de referencia S' que no es el del evento, sufren las siguientes cambios:
  1. El tiempo se dilata (¡relojes en movimiento caminan más lento!)
  2. La longitud paralela a la dirección del movimiento se contrae (¡los metros en la dirección del movimiento se acortan!
Las ecuaciones para dilatación del tiempo y la contracción de la longitud paralela a la dirección de movimiento entre los dos marcos de referencia son las siguientes:👈👇

Es interesante anotar que, dado el principio de relatividad especial (1.), cada observador puede considerarse a sí mismo en reposo, y que mide con propiedad su tiempo propio y longitud propia. Además debe tener cuidado que las relaciones anteriores se refieren a intervalos de tiempo (Δ t) y a desplazamientos (Δ x), no a valores de tiempo y posición (coordenadas).

Ejemplo 1.
El número de latidos del corazón de un astronauta que viaja a 0,9c y un controlador de vuelo en la Tierra es 70 por minuto, cuando ambos están en reposo en su sistema de referencia. Calcule la frecuencia cardiaca que cada observador mide del otro.
Resolución:
El tiempo propio en la nave es To = 1,0 minuto, que corresponde a un tiempo no propio T en la base, igual a
La frecuencia cardiaca del astronauta, medida en la base es entonces f=70/2,3 min = 30,5 latidos por minuto.
A una conclusión semejante llega el astronauta cuando mide el período cardiaco del controlador. 

Ejemplo 2.
El controlador del ejemplo 1 tiene una regla de 1,00 m,
para medir longitudes, ¿de qué tamaño la observa un astronauta que se mueve a 0,95c respecto a él?
Resolución:



Ejemplo 3.
En una nave que viaja a 0,5c con respecto a un observador en la Tierra, hay un cuadrado de 20,0 cm de lado, orientado de tal manera que dos de sus lados son paralelos a la dirección del movimiento. ¿Cómo se vería dicho cuadrado un observador en la Tierra?
Resolución:
Los lados paralelos al movimiento se ven contraídos por el observado en la Tierra, los lados perpendiculares se ven del mismo tamaño.
Entonces el cuadrado se vería como un rectángulo de 20,0 cm de alto y 17,3 cm de ancho.

Ejemplo 4.
En la nave espacial anterior hay un triángulo rectángulo, que visto desde la Tierra tiene catetos de 3,0 cm y 4,0cm, con una hipotenusa de 5,0 cm. La dirección del movimiento coincide con la del cateto de 3,0 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo en la nave?
Resolución:
El cateto de 3,0 cm = L, se ve contraído desde la Tierra. Por lo que su longitud propia L0, en la nave es:
De donde Lo = 6 cm. El cateto de 4,0 mide lo mismo en ambos sistemas, puesto que es perpendicular a la dirección del movimiento.
!El teorema de Pitágoras se cumple en la nave!, la hipotenusa mide:


¿Cuánto medirán en la nave los ángulos de 53°, 37° y 90° del triángulo, que observan en la Tierra?

Referencias adicionales:

¿Tiene alguna consulta?
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