viernes, 11 de septiembre de 2009

Relatividad especial I. (longitud y tiempo)

[MEP: Analizar cualitativa y cuantitativamente la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein. (Análisis de la relatividad de la longitud y el tiempo)].
Página 51. No encuentro información por Internet.
Indice
 
El experimento de Michelson y Morley, para descubrir un marco de referencia preferencial para la ecuaciones del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), tuvo resultado nulos. Esto es, sirvió para probar definitivamente que la velocidad de la luz permanece constante, independiente del sistema de referencia en el cual se hace la medición. No importa si la fuente luminosa o el observador están en reposo o tienen algún movimiento relativo con velocidad constante, contrariamente a lo esperado si se aplican las transformaciones de Galileo. 

Este fracaso puso a la ciencia ente la disyuntiva de escoger un nuevo principio de relatividad para sustituir el principio clásico de relatividad galileana.
En 1905, después de un examen crítico de los conceptos de espacio, tiempo y simultaneidad, Albert Einstein (1879-1955) formuló una nueva versión del principio de relatividad, válido para todas las leyes de la física.

Los dos siguientes enunciados, se conocen como los postulados de la relatividad especial o restringida:
  1. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto.
  2. La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.

    El principio de relatividad es equivalente a la existencia de un conjunto universal de ecuaciones de transformación y la invariancia de todas las leyes físicas bajo tales transformaciones.
Ese conjunto de ecuaciones son las denominadas transformaciones de Lorentz, para pasar las coordenadas espaciales x, y, z y el tiempo t del marco S al marco S', (figura arriba).
Solo para completar el tema las escribimos a continuación, pero su manejo y aplicación no se consideran parte requerida del plan de estudios:

β (beta) es un coeficiente adimensional, resultado de dividir la velocidad relativa (V) entre los dos sistema S y S' y la velocidad de la luz en el vacío (c = 299 792 458 m/s). γ (gama) se denomina el factor de Lorentz. 

Compruebe que cuando V = 100 m/s (360 km/h), la velocidad de un fórmula 1, β = 3,3 x10-7, ¡prácticamente cero! 
Además γ = 1 y entonces las cuatro coordenadas tienen esencialmente el mismo valor en los dos sistemas S y S'.

Sin embargo, cuando V es cercana a la velocidad de la luz, digamos V = 0,8 c, el coeficiente
--> β = 0,8 y el factor es Lorentz γ es 1,67, lo cual produce valores diferentes entre las coordenadas de ambos sistemas.
 
De acuerdo con la física clásica y las transformaciones galileanas, el tiempo es un invariante y se supone evidente el hecho de que dos cronómetros en marcos de referencia diferentes pueden sincronizarse sin ningún problema.
Ahora bien, el proceso de sincronización requiere la transmisión de información de un sistema de referencia a otro por medio de una señal, cuya máxima velocidad es la velocidad de la luz en el vacío.

Por otro lado, el concepto de simultaneidad solo tiene significado en un marco de referencia donde los cronómetros, las fuentes de luz y los observadores están en reposo, es decir, no puede definirse independientemente de las coordenadas espaciales para dos observadores que están en movimiento relativo.
Dilatación del tiempo y contracción longitudinal
Todo evento físico está localizado e
n el espacio y en el tiempo. Un observador que está en reposo en el marco de referencia donde ocurre un evento, puede medir con un único cronómetro la duración del mismo. El intervalo de tiempo medido en este marco de referencia se llama tiempo propio, To. También este observador en reposo puede determinar simultáneamente la posición de los extremos de un objeto, para determinar su longitud, la cual llamaremos longitud propia, Lo.
 
Puede demostrarse a partir de las transformaciones de Lorentz que las mediciones del tiempo no propio T y la longitud no propia L, hechas por otro observador en un marco de referencia S' que no es el del evento, sufren las siguientes cambios:
  1. El tiempo se dilata (¡relojes en movimiento caminan más lento!)
  2. La longitud paralela a la dirección del movimiento se contrae (¡los metros en la dirección del movimiento se acorta n!
Las ecuaciones para dilatación del tiempo y la contracción de la longitud paralela a la dirección de movimiento entre los dos marcos de referencia son las siguientes:
Es interesante anotar que, dado el principio de relatividad especial (1.), cada observador puede considerarse a sí mismo en reposo, y que mide con propiedad su tiempo propio y longitud propia. Además debe tener cuidado que las relaciones
anteriores se refieren a intervalos de tiempo (Δ t) y a desplazamientos (Δ x), no a valores de tiempo y posición (coordenadas).

Ejemplo 1.
El número de latidos del corazón de un astronauta que viaja a 0,9c y un controlador de vuelo en la Tierra es 70 por minuto, cuando ambos están en reposo e su sistema de referencia. Calcule la frecuencia cardiaca que cada observador mide del otro.
Resolución:
El tiempo propio en la nave es T
o = 1,0 minuto, que corresponde a un tiempo no propio T en la base, igual a
La frecuencia cardiaca del astronauta, medida en la base es entonces f=70/2,3 min = 30,5 latido
s por minuto.
A una conclusión semejante llega el astronauta cuando mide el período cardiaco del controlador. 

Ejemplo 2.
El controlador del ejemplo 1 tiene una regla de 1,00 m,
para medir longitudes, ¿de qué tamaño la observa un astronauta que se mueve a 0,95c respecto a él?
Resolución:
-->


Ejemplo 3.
En una nave que viaja a 0,5c con respecto a un observador en la Tierra, hay un cuadrado de 20,0 cm de lado, orientado de tal manera que dos de sus lados son paralelos a la dirección del movimiento. ¿Cómo se vería dicho cuadrado un observador en la Tierra?
Resolución:
Los lados paralelos a l movimiento se ven contraídos por el observado en la Tierra, los lados perpendiculares se ven del mismo tamaño.
Entonces el c uadrado se vería como un rectángulo de 20,0 cm de alto y 17,3 cm de ancho.
Ejemplo 4.
En la nave espacial anterior hay un triángulo rectángulo, que visto desde la Tierra tiene catetos de 3,0 cm y 4,0cm, con una hipotenusa de 5,0 cm. La dirección del movimiento coincide con la del cateto de 3,0 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo en la nave?
Resolución:
El cateto de 3,0 cm = L, se ve contraído desde la Tierra. Por lo que su longitud propia L0, en la nave es:
De donde Lo = 6 cm. El cateto de 4,0 mide lo mismo en ambos sistemas, puesto que es perpendicular a la dirección del movimiento. El teorema de Pitágoras se cumple en la nave, la hipotenusa mide:
¿Cuánto medirán en la nave los ángulos de 53°, 37
° y 90° del triángulo, que observan en la Tierra?

Referencias adicionales:

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