Tránsito de Venus * y la Tercera ley de Kepler *

De seguro ha leído que los tránsitos de Venus han sido usados por los astrónomos para medir la distancia Tierra-Venus y así, con un poquito más de análisis, determinar el tamaño de la unidad astronómica (ua).

Dicha medición requiere el apoyo de las leyes del movimiento planetario. Recuerde que las dos primeras Leyes de Kepler, establecen en su orden, la órbita elíptica y la rapidez del planeta, que depende de su distancia al Sol.

La tercera ley establece una relación matemática simple: 

“Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.”

Si usted ya pasó el estudio del movimiento circular y la gravitación universal, en el curso de Física de décimo año, puede fácilmente deducir la tercera ley, de la siguiente manera:

Suponga por simplicidad, que un planeta de masa (m), realiza una órbita circular de radio (r), alrededor del Sol, cuya masa es (M). Como consecuencia de esa suposición, la velocidad tangencial del planeta tiene magnitud constante (v) y el tiempo para dar una vuelta, el periodo de revolución (T), también será constante. 

La fuerza con que se atraen el Sol y el planeta, está dada por la Ley de Gravitación Universal

Como el Sol es mucho más masivo que el planeta, el centro de masa del sistema casi está en el centro del Sol y prácticamente en reposo. Entonces el planeta experimenta una fuerza centrípeta (F.C. hacia el Sol), que es precisamente proporcionada por la atracción gravitacional de aquél.

Pero dinámicamente la fuerza centrípeta, como cualquiera otra fuerza, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es el producto de la masa del planeta y la aceleración que experimenta (¡hay aceleración a pesar de que la rapidez es contante, porque la dirección de la velocidad cambia de un punto a otro de la órbita!)

Ahora bien, cuando la rapidez de un movimiento es constate, podemos utilizar la relación simple que la define: rapidez= distancia/tiempo. 

Aquí la distancia es una circunferencia 2π r y el tiempo es el de una vuelta completa, llamémoslo período T.

Entonces, sustituyendo resulta:

Simplificando y ordenando la ecuación anterior, encontramos que:

 ¡Tercera ley de Kepler del movimiento planetario!

Esto significaría que el período de revolución alrededor del Sol, de cada uno de los planetas, elevado a la segunda potencia y dividido por su semieje mayor elevado a la tercera potencia, da el mismo resultado.
Por ejemplo, para Venus y la Tierra:

 

Donde hemos puesto de manera explícita que el período de revolución de la Tierra es 365.25 días y que su semieje mayor es lo que llamaremos una unidad astronómica (ua). 

Ahora bien, los períodos de revolución de los planetas pueden determinarse con buenos telescopios y cronómetros. En realidad lo que se mide es el período sinódico. En el caso de Venus este es el tiempo  entre dos conjunciones inferiores sucesivas (583.92 días), como entre la última que ocurrió el 29 de octubre de 2010 y la que ocurrirá el 5 de junio de este año.

El período sinódico  de los planetas es fácil de visualizar y medir, solo hay que medir el tiempo, mientras regresa a la misma posición (fase) visto desde la Tierra.

Por ejemplose para la Luna, el período sinódico puede medirse como el tiempo entre dos cuartos crecientes justos (29.53 días) y con ese dato se calculan los 27.32 días del período orbital.

El período orbital sideral de Venus se ha medido con muy buena precisión; es 224.701 días.

Entonces si el 5 de junio, durante el tránsito de Venus, se hacen observaciones cuidadosas, se coordinan tiempos, se toman fotos y se realizan las mediciones apropiadas, se puede determinar la longitud del semieje mayor de la órbita de Venus. Más o menos cómo se hace, se lo contaré en una próxima entrada. 

Así que esperaremos el dato para calibrar la unidad de distancia en el Sistema Solar:
 

Venus de Willendorf