jueves, 21 de abril de 2016

Tránsito de Mercurio y las Leyes de Kepler

En el año 1609 el astrónomo alemán Johannes Kepler, anunció su descubrimiento de las leyes del movimiento planetario:
  • Primera ley (1609): "Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse".
  • Segunda ley (1609): "El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales".
  • Tercera ley (1618): "Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica".

Desde luego, las tres leyes se refieren a los planetas del Sistema Solar, o a los satélites de un determinado planeta (naturales o artificiales), e incluso a planetas extrasolares. En estos dos últimos casos, solo se debe recalcular la constante de proporcionalidad para la tercera ley.

Hace cuatro años, con motivo del Tránsito de Venus publiqué en este blog: “Tránsito de Venus y la Tercera ley de Kepler”, creo que es un buen artículo para una revisión del tema.
Hoy le dedicaré un poco más de atención a las dos primeras.
La primera ley debe haber consumido una gran parte del tiempo y del esfuerzo de Kepler, ya que tanto en esa época, como ahora, la idea de órbitas circulares es sumamente atractiva. Difícil de deshacerse de ella, para sustituirla por una órbita elíptica, aún para un matemático y astrónomo.
Sin embargo, como debe hacerlo todo buen científico; al saber que los datos de posiciones de los planetas, medidos por el prestigioso astrónomo danés Tycho Brahe, eran lo mejore con que podría trabajar, tomó la decisión correcta.
Si los datos de la posición de un planeta alrededor del Sol, no se ajustan a una circunferencia, entonces la trayectoria debe ser otra curva cerrada y la que sigue en grado de complejidad (¡el universo es simple!), es una elipse.
Yo supondría que no fue difícil para el matemático Kepler descartar el centro de la elipse como la posición del Sol. Su conocimiento astronómico y aún la sospecha del concepto de afelio y perihelio lo llevarían rápidamente a colocar al Sol en uno de los focos de la elipse. No tengo idea si el foco descartado lo mantuvo desvelado por algún tiempo, pero los escritores de cuentos y novelas de ciencia ficción lo han utilizado para proponer un supuesto compañero estelar del Sol, el cual no podemos ver (desde la Tierra), porque siempre estaría del lado opuesto.
En un año como este, Mercurio pasa hasta dos veces por todos los puntos interesantes de su órbita, por ejemplo:

  • 14 de enero: conjunción inferior (del mismo lado de la Tierra, pero sin tránsito).
  • 07 de febrero: máxima elongación Oeste. Buen momento para observarlo antes de la salida del Sol.
  • 21 de febrero: afelio (posición más separada del Sol, equivalente a la posición de la Tierra el 4 de julio).
  • 23 de marzo: conjunción superior (al otro lado del Sol, respecto de la Tierra).
  • 05 de abril: perihelio (posición más cercana al Sol, equivalente a la posición de la Tierra el 2 de enero).
  • 18 de abril: máxima elongación Este (respecto al Sol). Buen momento para observarlo luego de la puesta del Sol.
  • 09 de mayo: conjunción inferior y tránsito (de este lado de la Tierra y lo veremos pasando frente al Sol).
  • 19 de mayo: afelio.
  • 05 de junio: máxima elongación Oeste. Buena posición para observarlo antes de la salida del Sol.
  • 02 de julio: perihelio.
  • 07 de julio: conjunción superior.
  • 01 de agosto: máxima elongación Este. Buen momento para observarlo luego de la puesta del Sol.
  • etc.

Encontrar que la órbita de Marte (primeramente) era una elipse, debió ser un arduo trabajo matemático que involucró muchos cálculos, geometría descriptiva, análisis estadístico, prueba y error, ajuste de curvas y análisis de errores.
Todo esto sin la ayuda de una computadora, ni una calculadora científica, ni siquiera una “regla de cálculo”, como la que usé en mis primeros años en la Universidad de Costa Rica (1961- 1964) y supongo que tampoco “tablas de logaritmos”, como las usadas en cuarto y quinto año en el Colegio de Naranjo (1959-1960)


Para la segunda ley supongo que Kepler empleo sus conocimientos básicos de física y astronomía.
Con base en las Leyes de Newton y manejo de cantidades vectoriales ahora se puede probar que esta ley es una consecuencia de la “Conservación de la cantidad de movimiento angular”, que parece un requerimiento lógico a un sistema planetario, más o menos estable y aislado.
Con un análisis simple y un poquito de lógica, creo que podemos concluir que en una órbita elíptica, con el centro de atracción (el Sol) en uno de los focos, la fuerza gravitacional es mayor en perihelio que en afelio.
Entonces aceptamos fácilmente que la rapidez orbital del planeta es mayor en perihelio que en afelio. Específicamente, Mercurio corre el riesgo de salirse se la órbita (¡fuerza centrífuga!) y dejar de ser un miembro permanente del Sistema Solar.
¿Cómo llegó Kepler a concluir que en intervalos de tiempo iguales (un día, un mes...), el área barrida por la recta que va del Sol al planeta, es la misma?
D
e momento se lo debo, desde luego si algunos de ustedes tiene este conocimiento, lo invito a compartirlo.

Note que este tránsito de Mercurio del 9 de mayo, ocurre con el planeta algo cercano al afelio. La rapidez orbital está cerca del valor mínimo, y ese es uno de los motivos por el cual la duración del tránsito (para nuestra latitud) es bastante satisfactoria. La otra es que, el tránsito es un poco profundo (visualmente).
Prepárese para observar con binoculares o telescopio y cámara fotográfica, pero sobre todo con un filtro solar certificado.
El fundamente físico de la segunda ley; la conservación de la cantidad de movimiento angular, nos permite calcular (http://web2.0calc.com/) la razón entre la rapidez orbital en perihelio y en afelio. Una oportunidad para aplicar su física de décimo año.
Como en esas posiciones la velocidad orbital del planeta es perpendicular a la recta que va del Sol al afelio y al perihelio, entonces simplemente:
(m)(vperihelio)(distancia del perihelio)= (m)(vafelio)(distancia del afelio)
De donde: vperihelio/ vafelio = 0,467 u.a./0,307 u.a.= 1,52.
!En perihelio la rapidez orbital es poco más de 1,5 veces
la rapidez orbital en afelio!
mercury-orbit-animation/
¿Sabía que una consecuencia de lo anterior es que cerca del perihelio de Mercurio, si usted estuviese en ciertos lugares particulares como el cráter "Caloris", en un mismo día mercuriano, se podría ver al Sol pasar por el mediodía y luego detenerse como en una posición similar a la una de tarde. Después lo vería retroceder y pasar cenital nuevamente, pero en dirección contraria y detenerse por segunda vez en una posición similar a la de 11 de la mañana. Reiniciar su recorrido y dar un paso cenitalmente por tercera vez, para finalmente continuar hasta el ocaso?
Si quiere distraerse un rato lea mi cuento mercuriano "Go-karts en las Fosas del Panteón": http://www.slideshare.net/JoseVillalobos24/chindo-y-maura-con-otros-cuentos-mla-jav-55753939, página 47.

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